Тригонометричні рівняння

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` – кут, який потрібно знайти, `a` – будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.

1. Рівняння `sin x=a`.

При `|a|>1` немає рішень.

При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.

Формула коріння: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Рівняння `cos x=a`

При '|a|>1' — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `|a| \leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.

3. Рівняння `tg x=a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коріння: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Рівняння `ctg x=a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коріння: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

за допомогою перетворити його до найпростішого;
вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.

Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.

Алгебраїчний метод.

У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.

приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,

знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Розкладання на множники.

приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.

Рішення. Перенесемо ліворуч усі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Відповідь: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:

`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \ne 0` - для першого випадку, і на `cos ^ 2 x \ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.

приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Рішення. Запишемо праву частину як `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, у результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Перехід до половинного кута

приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =``\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Докладніше розглянемо на наступному прикладі:

приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Позначимо `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Оскільки `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то як допоміжний кут візьмемо `\varphi=arcsin 4/5`. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.

приклад. Розв'язати рівняння. frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Рішення. Помножимо і розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi/2+2\pi n, n\in Z`.

Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.

Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так і складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.

Підготовка до профільного рівня єдиного державного іспиту з математики. Корисні матеріали з тригонометрії, великі теоретичні відеолекції, відеорозбір завдань і добірка завдань минулих років.

Корисні матеріали

Підбірки відео та онлайн-курси

Тригонометричні формули

Геометрична ілюстрація тригонометричних формул

Арк-функція. Найпростіші тригонометричні рівняння

Необхідна теорія на вирішення задач.
а) Розв'яжіть рівняння $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
а) Розв'яжіть рівняння $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
Розв'яжіть рівняння $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
а) Розв'яжіть рівняння $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
а) Розв'яжіть рівняння $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
Розв'яжіть рівняння $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
Розв'яжіть рівняння $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right)$.
а) Розв'яжіть рівняння $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
а) Розв'яжіть рівняння $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \right]$.

Відеорозбір завдань

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до відрізка $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$.

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \right]$.

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до відрізка $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$.

а) Розв'яжіть рівняння $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right)$.

а) Розв'яжіть рівняння $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi \right]$.

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

а) Розв'яжіть рівняння $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9 $.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$.

а) Розв'яжіть рівняння $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0 $.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

а) Розв'яжіть рівняння $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi \right]$.

а) Розв'яжіть рівняння $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0 $.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

а) Розв'яжіть рівняння $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.

Добірка завдань минулих років

а) Розв'яжіть рівняння $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до відрізка $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$. (ЄДІ-2018. Дострокова хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $ \ left [-2 \ pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $ \ left [3 \ pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $ \ left [-4 \ pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
а) Розв'яжіть рівняння $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $ \ left [2 \ pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $ \ left [-3 \ pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку $ \ left [-3 \ pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $.
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до відрізка $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$. (ЄДІ-2018. Основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ 2\pi;\ dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2017, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[\log_5 2;\\log_5 20 \right]$. (ЄДІ-2017, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (ЄДІ-2016, основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[2;\2(,)5\right]$. (ЄДІ-2016, основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2016, основна хвиля, резервний день)
а) Розв'яжіть рівняння $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ЄДІ-2016, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2016, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ЄДІ-2016, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2016, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $ dfrac (13 sin 2 x - 5 sin x) (13 cos x + 12) = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ЄДІ-2016, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізка $\left$. (ЄДІ-2015, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ЄДІ-2015, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2015, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2015, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2015, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать відрізку $\left[2\pi;\dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2015, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \ 4 \ pi \ right] $. (ЄДІ-2014, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \ 3 \ pi \ right] $. (ЄДІ-2014, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[-3\pi; \-\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2014, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \ 6 \ pi \ right] $. (ЄДІ-2014, дострокова хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
б) Вкажіть корені цього рівняння, що належать до відрізку $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \-\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2013, основна хвиля)
а) Розв'яжіть рівняння $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
б) Вкажіть коріння цього рівняння, що належить відрізку $\left[-5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ЄДІ-2012, друга хвиля)

Завдання №1

Логіка проста: будемо чинити так, як чинили раніше, незважаючи на те, що тепер у тригонометричних функцій став складніший аргумент!

Якби вирішували рівняння виду:

То ми б записали ось таку відповідь:

Або (оскільки)

Але тепер у ролі у нас виступаємо такий вираз:

Тоді можна записати:

Наша з тобою мета - зробити так, щоб ліворуч стояв просто, без жодних «домішок»!

Давай поступово їх позбуватися!

Спочатку приберемо знаменник при: для цього домножимо нашу рівність на:

Тепер позбудемося, розділивши на нього обидві частини:

Тепер позбавимося вісімки:

Отримане вираз можна розписати як дві серії рішень (за аналогією з квадратним рівнянням, де ми або додаємо, або віднімаємо дискримінант)

Нам потрібно знайти найбільший негативний корінь! Зрозуміло, що треба перебирати.

Розглянемо спочатку першу серію:

Ясно, що якщо ми братимемо то в результаті ми отримуватимемо позитивні числа, а вони нас не цікавлять.

Отже, треба брати негативним. Нехай.

При корінь буде вже:

А нам потрібно знайти найбільший негативний! Отже йти у негативний бік тут не має сенсу. І найбільший негативний корінь для цієї серії дорівнюватиме.

Тепер розглядаємо другу серію:

І знову підставляємо: , Тоді:

Не цікавить!

Тоді збільшувати більше немає сенсу! Зменшуватимемо! Нехай тоді:

Підходить!

Нехай. Тоді

Тоді – найбільший негативний корінь!

Відповідь:

Завдання №2

Знову вирішуємо, незважаючи на складний аргумент косинуса:

Тепер знову висловлюємо ліворуч:

Примножуємо обидві сторони на

Ділимо обидві сторони на

Все, що залишилося - це перенести праворуч, змінивши її знак з мінусу на плюс.

У нас знову виходить 2 серії коренів, одна, а інша с.

Нам потрібно знайти найбільший негативний корінь. Розглянемо першу серію:

Ясно, що перший негативний корінь ми отримаємо, він буде дорівнює і буде найбільшим негативним коренем в 1 серії.

Для другої серії

Перший негативний корінь буде отриманий також і буде дорівнює. Так, то - найбільший негативний корінь рівняння.

Відповідь: .

Завдання №3

Вирішуємо, незважаючи на складний аргумент тангенсу.

Ось, начебто нічого складного, чи не так?

Як і раніше, виражаємо у лівій частині:

Ну ось і чудово, тут взагалі лише одна серія коренів! Знову знайдемо найбільший негативний.

Ясно, що виходить, якщо покласти. І корінь цей дорівнює.

Відповідь:

Тепер спробуй самостійно вирішити такі завдання.

Домашня робота або 3 завдання для самостійного вирішення.

Розв'яжіть рівняння.
Розв'яжіть рівняння.
У від-ві-ті на-пи-ши-те найменший по-ло-жи-тель-ний корінь.
Розв'яжіть рівняння.
У від-ві-ті на-пи-ши-те найменший по-ло-жи-тель-ний корінь.

Готовий? Перевіряємо. Я не буду докладно описувати весь алгоритм рішення, мені здається, йому й так приділено достатньо уваги вище.

Ну що, все вірно? Ох вже ці гидкі синуси, з ними завжди якісь лиха!

Ну що ж, тепер ти вмієш вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння!

Звірись з рішеннями та відповідями:

Завдання №1

Висловимо

Найменший позитивний корінь вийде, якщо покласти, тому що, то

Відповідь:

Завдання №2

Найменший позитивний корінь вийде.

Він дорівнюватиме.

Відповідь: .

Завдання №3

При отримуємо, маємо.

Відповідь: .

Ці знання допоможуть тобі вирішувати багато завдань, з якими ти зіткнешся в іспиті.

Якщо ж ти претендуєш на оцінку «5», то просто необхідно перейти до читання статті для середнього рівня,яка буде присвячена вирішенню складніших тригонометричних рівнянь (завдання С1).

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

У цій статті я опишу розв'язання тригонометричних рівнянь складнішого типуі як проводити відбір їх коріння. Тут я спиратимуся на наступні теми:

Тригонометричні рівняння для початкового рівня (див вище).

Більш складні тригонометричні рівняння – це основа завдань підвищеної складності. Вони потрібно як вирішити саме рівняння у загальному вигляді, і знайти коріння цього рівняння, належать деякому заданому проміжку.

Розв'язання тригонометричних рівнянь зводиться до двох підзавдань:

Вирішення рівняння
Відбір коренів

Слід зазначити, що друге потрібно не завжди, але все ж таки в більшості прикладів потрібно проводити відбір. А якщо ж він не потрібний, то тобі швидше можна поспівчувати - це означає, що рівняння досить складне саме по собі.

Мій досвід розбору завдань С1 показує, що вони зазвичай діляться на такі категорії.

Чотири категорії завдань підвищеної складності (раніше С1)

Рівняння, що зводяться до розкладання множників.
Рівняння, що зводяться до вигляду.
Рівняння, які вирішуються заміною змінної.
Рівняння, що вимагають додаткового відбору коренів через ірраціональність або знаменник.

Говорячи по-простому: якщо тобі попалося одне із рівнянь перших трьох типів, то вважай, що тобі пощастило. Для них зазвичай додатково потрібно підібрати коріння, що належать деякому проміжку.

Якщо ж тобі трапилося рівняння 4 типу, то тобі пощастило менше: з ним потрібно повозитися довше і уважніше, зате досить часто в ньому не потрібно додатково відбирати коріння. Проте цей тип рівнянь я розбиратиму в наступній статті, а цю присвячу вирішенню рівнянь перших трьох типів.

Рівняння, що зводяться до розкладання на множники

Найважливіше, що тобі потрібно пам'ятати, щоб вирішувати рівняння цього

Як показує практика, зазвичай цих знань достатньо. Давай звернімося до прикладів:

Приклад 1. Рівняння, що зводяться до розкладання на множники за допомогою формул приведення та синуса подвійного кута

Ре-ши-те урав-не-ня
Знайди всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку

Тут, як я і обіцяв, працюють формули приведення:

Тоді моє рівняння набуде такого вигляду:

Тоді моє рівняння набуде наступної форми:

Недалекоглядний учень міг би сказати: а тепер я скорочу обидві частини на, отримую найпростіше рівняння та тішуся життя! І буде гірко помилятися!

ЗАПАМ'ЯТАЙ: НІКОЛИ НЕ МОЖНА СКОРОЧУВАТИ ОБІДВІ ЧАСТИНИ ТРИГОНОМЕТРІЧНОГО РІВНЯННЯ НА ФУНКЦІЮ, ЩО ВМІСТУЄ НЕВІДОМУ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТИ ВТРАЧАЄШЬ КОРІННЯ!

То що ж робити? Та все просто, переносити все в один бік і виносити спільний множник:

Ну ось, на множники розклали, ура! Тепер вирішуємо:

Перше рівняння має коріння:

А друге:

На цьому першу частину завдання вирішено. Тепер потрібно відібрати коріння:

Проміжок такий:

Або його ще можна записати ось так:

Ну що, давай відбирати коріння:

Спочатку попрацюємо з першою серією (та й простіше вона, що вже казати!)

Так як наш проміжок - цілком негативний, то немає потреби брати неотрицательные, все одно вони дадуть неотрицательные коріння.

Візьмемо, тоді - забагато, не влучає.

Нехай тоді - знову не потрапив.

Ще одна спроба - тоді, є, потрапив! Перший корінь знайдено!

Стріляю ще раз: , Тоді - ще раз потрапив!

Ну і ще разок: - це вже переліт.

Так що з першої серії проміжку належать 2 корені: .

Працюємо з другою серією (зводимо у ступінь за правилом):

Недолє!

Знову недолітає!

Знову недоліт!

Влучив!

Переліт!

Таким чином, моєму проміжку належать ось такі корені:

Ось за таким алгоритмом ми і вирішуватимемо всі інші приклади. Давай разом потренуємось ще на одному прикладі.

Приклад 2. Рівняння, що зводяться до розкладання множників за допомогою формул приведення

Розв'яжіть рівняння

Рішення:

Знову горезвісні формули приведення:

Знов не здумай скорочувати!

Перше рівняння має коріння:

А друге:

Тепер знову пошук коріння.

Почну з другої серії, мені про неї вже все відомо з попереднього прикладу! Подивися і переконайся, що коріння, що належить проміжку, наступне:

Тепер перша серія і вона простіше:

Якщо - підходить

Якщо - теж годиться

Якщо – вже переліт.

Тоді коріння буде наступне:

Самостійна робота. 3 рівняння.

Ну що, техніка тобі зрозуміла? Розв'язання тригонометричних рівнянь вже не здається таким складним? Тоді швиденько вирішуй наступні завдання самостійно, а потім ми з тобою вирішуватимемо інші приклади:

Розв'яжіть рівняння
Знай-діть всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі проміжку.
Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жи-те коріння рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку
Ре-ши-те урав-не-ня
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі-ші про-мі-жут-ку.

Рівняння 1.

І знову формула приведення:

Перша серія коренів:

Друга серія коренів:

Починаємо відбір для проміжку

Відповідь: , .

Рівняння 2. Перевірка самостійної роботи.

Досить хитре угруповання на множники (застосую формулу синуса подвійного кута):

тоді чи

Це спільне рішення. Тепер треба відбирати коріння. Біда у цьому, що ми можемо сказати точне значення кута, косинус якого дорівнює однієї чверті. Тому я не можу просто так позбутися арккосинусу - ось така досада!

Що я можу зробити, то це прикинути, що так як, те.

Складемо таблицю: проміжок:

Ну що ж, шляхом болісних пошуків ми дійшли невтішного висновку про те, що наше рівняння має один корінь на вказаному проміжку: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

3. Перевірка самостійної роботи.

Рівняння виду, що лякає. Однак вирішується досить просто шляхом застосування формули синуса подвійного кута:

Скоротимо на 2:

Згрупуємо перше доданок з другим і третє з четвертим і винесемо загальні множники:

Ясно, що перше рівняння коріння не має, а тепер розглянемо друге:

Взагалі я збирався трохи пізніше зупинитися на вирішенні таких рівнянь, але якщо вже підвернулося, то робити нічого, треба вирішувати.

Рівняння виду:

Дане рівняння вирішується розподілом обох частин на:

Таким чином, наше рівняння має єдину серію коренів:

Потрібно знайти ті, які належать промежутку: .

Знову збудуємо табличку, як я робив і раніше:

Відповідь: .

Рівняння, що зводяться до вигляду:

Ну ось, тепер саме час переходити до другої порції рівнянь, тим більше, що я вже й так проговорився в чому полягає розв'язання тригонометричних рівнянь нового типу. Але не зайвим буде повторити, що рівняння виду

Вирішується розподілом обох частин на косинус:

Ре-ши-те урав-не-ня
Вкажіть коріння рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.
Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жіть коріння рівняння, на-д-ле-жа-щі-щі про-мі-жут-ку.

приклад 1.

Перше – ну зовсім просте. Перенесемо вправо і застосуємо формулу косинуса подвійного кута:

Ага! Рівняння виду: . Поділяю обидві частини на

Робимо відсів коріння:

Проміжок:

Відповідь:

приклад 2.

Все теж досить тривіально: розкриємо дужки праворуч:

Основне тригонометричне тотожність:

Синус подвійного кута:

Остаточно отримаємо:

Відсів коріння: проміжок.

Відповідь: .

Ну як тобі техніка, не надто складна? Я сподіваюсь що ні. Відразу можна обмовитися: у чистому вигляді рівняння, які зводяться до рівняння щодо тангенса, зустрічаються досить рідко. Як правило, цей перехід (розподіл на косинус) є лише частиною складнішого завдання. Ось тобі приклад, щоб ти міг вправлятися:

Ре-ши-те урав-не-ня
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.

Давай звірятися:

Рівняння вирішується відразу ж, достатньо поділити обидві частини на:

Відсів коренів:

Відповідь: .

Так чи інакше, ми ще маємо зустрітися з рівняннями того виду, які ми щойно розібрали. Проте нам ще рано закруглюватись: залишився ще один «пласт» рівнянь, які ми не розібрали. Отже:

Розв'язання тригонометричних рівнянь заміною змінної

Тут все прозоро: дивимося уважно на рівняння, максимально його спрощуємо, робимо заміну, вирішуємо, робимо зворотну заміну! На словах усе дуже легко. Давай подивимося на ділі:

приклад.

Розв'язати рівняння: .
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.

Ну що ж, тут заміна сама напрошується до нас у руки!

Тоді наше рівняння перетвориться на таке:

Перше рівняння має коріння:

А друге ось такі:

Тепер знайдемо коріння, що належить проміжку

Відповідь: .

Давай разом розберемо трохи складніший приклад:

Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жіть коріння дан-ного рівняння, на-д-ле-жа-щі про-мі-жут-ку.

Тут заміна відразу не видно, більше того, вона не дуже очевидна. Давай спочатку подумаємо: що ми можемо зробити?

Можемо, наприклад, уявити

А заразом і

Тоді моє рівняння набуде вигляду:

А тепер увага, фокус:

Давай розділимо обидві частини рівняння на:

Раптом ми з тобою здобули квадратне рівняння щодо! Зробимо заміну, тоді отримаємо:

Рівняння має наступне коріння:

Неприємна друга серія коріння, але нічого не вдієш! Проводимо відбір коренів на проміжку.

Нам також слід враховувати, що

Так як і, то

Відповідь:

Для закріплення, перш ніж ти сам вирішуватимеш завдання, ось тобі ще вправа :

Ре-ши-те урав-не-ня
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі-ші про-мі-жут-ку.

Тут треба тримати вухо гостро: у нас з'явилися знаменники, які можуть бути нульовими! Тому треба бути особливо уважними до коріння!

Насамперед, мені потрібно перетворити рівняння так, щоб я міг зробити відповідну заміну. Я не можу придумати зараз нічого кращого, ніж переписати тангенс через синус та косинус:

Тепер я перейду від косинуса до синуса за основною тригонометричною тотожністю:

І, нарешті, приведу все до спільного знаменника:

Тепер я можу перейти до рівняння:

Але за (тобто за).

Тепер все готове для заміни:

Тоді чи

Однак зверни увагу, що якщо, то при цьому!

Хто від цього страждає? Біда з тангенсом, він не визначений, коли косинус дорівнює нулю (відбувається поділ на нуль).

Отже, коріння рівняння такі:

Тепер виробляємо відсівання коренів на проміжку:


	- підходить
	- перебір

Таким чином, наше рівняння має єдиний корінь на проміжку, і він дорівнює.

Бачиш: поява знаменника (також, як і тангенса, призводить до певних труднощів з корінням! Тут треба бути більш уважним!).

Що ж, ми з тобою майже закінчили розбір тригонометричних рівнянь, залишилося зовсім небагато – самостійно вирішити два завдання. Ось вони.

Розв'яжіть рівняння
Знай-ди-те всі коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.
Ре-ши-те урав-не-ня
Ука-жіть коріння цього рівняння, при-над-ле-жа-щі від-різ-ку.

Вирішив? Чи не дуже складно? Давай звірятися:

Працюємо за формулами приведення:
Підставляємо в рівняння:
Перепишемо все через косинуси, щоб зручніше було робити заміну:
Тепер легко зробити заміну:
Зрозуміло, що сторонній корінь, оскільки рівняння рішень немає. Тоді:
Шукаємо потрібне нам коріння на проміжку
Відповідь: .
Тут заміна видно відразу:
Тоді чи

- Підходить! - Підходить!
- Підходить! - Підходить!
- Багато! - теж багато!
Відповідь:

Ну ось тепер все! Але рішення тригонометричних рівнянь на цьому не закінчується, за бортом у нас залишилися найскладніші випадки: коли в рівняннях є ірраціональність або різного роду «складні знаменники». Як вирішувати подібні завдання, ми розглянемо у статті для просунутого рівня.

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

На додаток до розглянутих у попередніх двох статтях тригонометричних рівнянь, розглянемо ще один клас рівнянь, які потребують ще більш уважного аналізу. Дані тригонометричні приклади містять або ірраціональність, або знаменник, що робить їх аналіз складнішим.. Тим не менш, ти цілком можеш зіткнутися з даними рівняннями в частині З екзаменаційної роботи. Однак немає поганого без добра: для таких рівнянь вже, як правило, не ставиться питання про те, яке з його коренів належать заданому проміжку. Давай не будемо ходити навколо та навколо, а відразу тригонометричні приклади.

приклад 1.

Вирішити рівняння і знайти те коріння, яке належить відрізку.

Рішення:

У нас з'являється знаменник, який не повинен дорівнювати нулю! Тоді вирішити це рівняння - це все одно, що вирішити систему

Розв'яжемо кожне з рівнянь:

А тепер друге:

Тепер давай подивимося на серію:

Ясно, що нам не підходить варіант, тому що при цьому у нас обнулюється знаменник (див. формулу коріння другого рівняння)

Якщо ж - то все гаразд, і знаменник не дорівнює нулю! Тоді коріння рівняння наступне: , .

Тепер проводимо відбір коренів, що належать до проміжку.


	- не підходить	- підходить
	- підходить	- підходить
	перебір	перебір

Тоді коріння наступне:

Бачиш, навіть поява невеликої перешкоди у вигляді знаменника істотно позначилося на вирішенні рівняння: ми відкинули серію коренів, що нуляли знаменник. Ще складніше може бути справа, якщо тобі трапляться тригонометричні приклади мають ірраціональність.

приклад 2.

Розв'яжіть рівняння:

Рішення:

Ну, хоча б не треба відбирати коріння і то добре! Давай спочатку розв'яжемо рівняння, незважаючи на ірраціональність:

І що це все? Ні, на жаль, так було б дуже просто! Потрібно пам'ятати, що під коренем можуть стояти лише невід'ємні числа. Тоді:

Вирішення цієї нерівності:

Тепер залишилося з'ясувати, чи не потрапила ненароком частина коріння першого рівняння туди, де не виконується нерівність.

Для цього можна знову скористатися таблицею:


	: , але	Ні!
		Так!
		Так!

Таким чином, у мене «випав» один із коренів! Він виходить, якщо покласти. Тоді відповідь можна записати у такому вигляді:

Відповідь:

Бачиш, корінь вимагає ще більшої уваги! Ускладнюємо: нехай тепер у мене під корінням стоїть тригонометрична функція.

Приклад 3.

Як і раніше: спочатку розв'яжемо кожне окремо, а потім подумаємо, що ж ми наробили.

Тепер друге рівняння:

Тепер найскладніше - з'ясувати, чи не виходять негативні значення під арифметичним коренем, якщо ми підставимо туди коріння з першого рівняння:

Число треба розуміти як радіани. Оскільки радіана – це приблизно градусів, то радіани – близько градусів. Це кут другої чверті. Косинус другої чверті має якийсь знак? Мінус. А синус? Плюс. Так що можна сказати про вираз:

Воно менше за нуль!

А значить – не є коренем рівняння.

Тепер черга.

Порівняємо це число з нулем.

Котангенс - функція спадна в 1 чверті (чим менше аргумент, тим більший котангенс). радіани – це приблизно градусів. В той же час

так, то, а значить і
,

Відповідь: .

Чи може бути складніше? Будь ласка! Буде важче, якщо під коренем, як і раніше, тригонометрична функція, а друга частина рівняння - знову тригонометрична функція.

Чим більше тригонометричних прикладів, тим краще дивись далі:

Приклад 4.

Корінь не годиться, через обмеженість косинуса

Тепер друге:

Водночас за визначенням кореня:

Треба згадати одиничне коло: саме ті чверті, де синус менший за нуль. Які це чверті? Третя та четверта. Тоді нас цікавитимуть ті рішення першого рівняння, які лежать у третій чи четвертій чверті.

Перша серія дає коріння, що лежать на перетині третьої та четвертої чверті. Друга ж серія - їй діаметрально протилежна - і породжує коріння, що лежить на межі першої та другої чверті. Тож ця серія нам не підходить.

Відповідь: ,

І знову тригонометричні приклади з «важкою ірраціональністю». Мало того, що в нас знову під корінням тригонометрична функція, то тепер вона ще й у знаменнику!

Приклад 5.

Ну, нічого не поробиш - робимо як і раніше.

Тепер працюємо зі знаменником:

Я не хочу вирішувати тригонометричну нерівність, а тому вчиню хитро: візьму і підставлю в нерівність мої серії коріння:

Якщо – парне, то маємо:

оскільки всі кути виду лежать у четвертій чверті. І знову сакральне питання: який знак синуса у четвертій чверті? Негативний. Тоді нерівність

Якщо ж непарне, то:

В якій чверті лежить кут? Це кут другої чверті. Тоді всі кути – знову кути другої чверті. Синус там позитивний. Саме те, що треба! Значить, серія:

Підходить!

Так само розуміємося з другою серією коренів:

Підставляємо в нашу нерівність:

Якщо – парне, то

Кути першої чверті. Синус там позитивний, отже, серія підходить. Тепер якщо - непарне, то:

теж підходить!

Ну ось тепер записуємо відповідь!

Відповідь:

Ну ось, це був, мабуть, найважчий випадок. Тепер я пропоную тобі завдання для самостійного вирішення.

Тренування

Розв'яжіть і знайдіть усі корені рівняння, що належать відрізку.

Рішення:

Перше рівняння:
або
ОДЗ кореня:
Друге рівняння:
Відбір коренів, що належать до проміжку
Відповідь:

Або
або
Але

Розглянемо: . Якщо – парне, то
- не підходить!
Якщо - непарне, - підходить!
Отже, наше рівняння має такі серії коренів:
або
Відбір коренів на проміжку:


	- не підходить	- підходить
	- підходить	- багато
	- підходить	багато

Відповідь: , .

Або
Оскільки, то при тангенсі не визначено. Відкидаємо цю серію коренів!

Друга частина:

У той же час по ОДЗ потрібно, щоб

Перевіряємо знайдене у першому рівнянні коріння:

Якщо знак:

Кути першої чверті, де тангенс є позитивним. Не підходить!
Якщо знак:

Кут четвертої чверті. Там тангенс негативний. Підходить. Записуємо відповідь:

Відповідь: , .

Ми разом розібрали у цій статті складні тригонометричні приклади, але тобі варто вирішувати рівняння самому.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Тригонометричне рівняння - це рівняння, у якому невідома перебуває суворо під знаком тригонометричної функції.

Існує два способи розв'язання тригонометричних рівнянь:

Перший спосіб – з використанням формул.

Другий спосіб - через тригонометричне коло.

Дозволяє вимірювати кути, знаходити їх синуси, косинуси та інше.

а)Розв'яжіть рівняння 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Показати рішення

Рішення

а)Розкривши дужки та перенісши всі доданки в ліву частину, отримаємо рівняння 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Враховуючи, що \cos x \neq 0, доданок 2 \sin x можна замінити на 2 tg x \cos x, отримаємо рівняння 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,яке способом угруповання можна привести до виду (1-tg x) (1-2 \ cos x) = 0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б)За допомогою числового кола відберемо коріння, що належить проміжку \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Відповідь

а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi)4.

Умова

а)Розв'яжіть рівняння (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

б)Вкажіть корені цього рівняння, що належать до проміжку \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Показати рішення

Рішення

а)ОДЗ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\xxneq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

Вихідне рівняння на ОДЗ рівносильне сукупності рівнянь

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\tg x=0. \end(array)\right.

Розв'яжемо перше рівняння. Для цього зробимо заміну \cos 4x=t, t \in [-1; 1].Тоді \sin^24x=1-t^2. Отримаємо:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Розв'яжемо друге рівняння.

tg x = 0, \, x = \ pi k, k \ in \ mathbb Z.

За допомогою одиничного кола знайдемо рішення, які задовольняють ОДЗ.

Знаком «+» відзначені 1-а та 3-а чверті, у яких tg x>0.

Отримаємо: x = k, k \ in \ mathbb Z; x=\frac\pi (12)+pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+pi m, m \in \mathbb Z.

б)Знайдемо коріння, що належать до проміжку \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Відповідь

а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+pi m, m \in \mathbb Z.

б) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi)(12); \frac(13\pi)(12); \ frac (17 \ pi) (12).

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

а)Розв'яжіть рівняння: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б)Вкажіть усі коріння, що належать до проміжку \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Показати рішення

Рішення

а)Так як \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,то \sin ^2\frac\pi 3=cos ^2\frac\pi 6,отже, задане рівняння рівносильне рівнянню \cos^2x=\cos ^22x, яке, своєю чергою, рівносильне рівнянню \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Але \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)і

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, тому рівняння набуде вигляду

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тоді або 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, або 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Вирішуючи перше рівняння як квадратне рівняння щодо \cos x, отримуємо:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Тому або \cos x=1, або \cos x=-\frac12.Якщо \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Якщо \cos x=-\frac12,то x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Аналогічно, вирішуючи друге рівняння, отримуємо або \cos x=-1, або \cos x=\frac12.Якщо \cos x=-1, то коріння x=\pi +2m\pi m \in \mathbb Z.Якщо \cos x=\frac12,то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi n \in \mathbb Z.

Об'єднаємо отримані рішення:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б)Виберемо коріння, яке потрапило в заданий проміжок, за допомогою числового кола.

Отримаємо: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 = frac (13 pi )3.

Відповідь

а) m\pi, m\in\mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi)3.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

а)Розв'яжіть рівняння 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

б)Вкажіть корені цього рівняння, що належать до інтервалу \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Показати рішення

Рішення

а) 1. Згідно з формулою приведення, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) = tgx.Областью визначення рівняння будуть такі значення x, що \cos x \neq 0 та tg x \neq -1. Перетворимо рівняння, користуючись формулою косинуса подвійного кута 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Отримаємо рівняння: 5(1+\cos x) = frac(11+5tgx)(1+tgx).

Зауважимо, що \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),тому рівняння набуває вигляду: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Звідси \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Перетворимо \sin x+\cos x за формулою приведення та формулою суми косінусів: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Звідси \cos \left(x-\frac\pi 4\right) = frac(3\sqrt 2)5.Значить, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

або x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Тому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

або x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Знайдені значення x належать області визначення.

б)З'ясуємо спочатку куди потрапляють корені рівняння при k=0 та t=0. Це будуть відповідно до числа a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5і b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Доведемо допоміжну нерівність:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Справді, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Зауважимо також, що \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, значить \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. З нерівностей (1) за властивістю арккосинусу отримуємо:

arccos 1

Звідси \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Аналогічно, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

При k=-1 і t=-1 отримуємо корені рівняння a-2pi і b-2pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).При цьому -2\pi

2\pi Отже, це коріння належить заданому проміжку \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2right).

За інших значеннях k і t коріння рівняння не належать заданому проміжку.

Дійсно, якщо k\geqslant 1 і t\geqslant 1, то коріння більше 2pi. Якщо k\leqslant -2 і t\leqslant -2, то коріння менше -\frac(7\pi )2.

Відповідь

а) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

а)Розв'яжіть рівняння \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б)Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать до проміжку ;

Показати рішення

Рішення

а)Перетворимо рівняння:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Коріння, що належать відрізку, знайдемо за допомогою одиничного кола.

Зазначеному проміжку належить однина \frac\pi 2.

Відповідь

а) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

не входить до ОДЗ.

Значить, \sin x \neq 1.

Розділимо обидві частини рівняння на множник (Sin x-1),відмінний від нуля. Отримаємо рівняння \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),або рівняння 1+\cos 2x=1+\cos (pi +x).Застосовуючи в лівій частині формулу зниження ступеня, а в правій - формулу приведення, отримаємо рівняння 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Це рівняння за допомогою заміни \cos x=t,де -1 \leqslant t \leqslant 1зводимо до квадратного: 2t^2+t-1=0,коріння якого t_1=-1і t_2=\frac12.Повертаючись до змінної x отримаємо \cos x = \frac12або \cos x=-1,звідки x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Вирішимо нерівності

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32 \leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Немає цілих чисел, що належать до проміжку \left[-\frac7(12); -\frac1(12) \right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Цій нерівності задовольняє k=-1, тоді x=-\pi.

Відповідь

а) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

б) -\pi.


	- Підходить!	- Підходить!
	- Підходить!	- Підходить!
	- Багато!	- теж багато!

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Алгебраїчний метод.

Розкладання на множники.

Приведення до однорідного рівняння

Перехід до половинного кута

Введення допоміжного кута

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Корисні матеріали

Підбірки відео та онлайн-курси

Тригонометричні формули

Геометрична ілюстрація тригонометричних формул

Арк-функція. Найпростіші тригонометричні рівняння