Таблиця значень тригонометричних функцій

Примітка. У цій таблиці значень тригонометричних функцій використовується знак для позначення квадратного кореня. Для позначення дробу – символ "/".

Див. такожкорисні матеріали:

Для визначення значення тригонометричної функції, знайдіть його на перетині рядка із зазначенням тригонометричної функції. Наприклад, синус 30 градусів - шукаємо колонку із заголовком sin (синус) і знаходимо перетин цієї колонки таблиці з рядком "30 градусів", на їх перетині зчитуємо результат - одна друга. Аналогічно знаходимо косинус 60градусів, синус 60градусів (ще раз, у перетині колонки sin (синус) та рядки 60 градусів знаходимо значення sin 60 = √3/2) тощо. Так само знаходяться значення синусів, косінусів і тангенсів інших "популярних" кутів.

Синус пі, косинус пі, тангенс пі та інших кутів у радіанах

Наведена нижче таблиця косінусів, синусів та тангенсів також підходить для знаходження значення тригонометричних функцій, аргумент яких заданий у радіанах. Для цього скористайтесь другою колонкою значень кута. Завдяки цьому можна перевести значення популярних кутів із градусів у радіани. Наприклад, знайдемо кут 60 градусів у першому рядку і під ним прочитаємо його значення у радіанах. 60 градусів дорівнює π/3 радіан.

Число пі однозначно виражає залежність довжини кола від градусної міри кута. Таким чином, пі радіан дорівнюють 180 градусам.

Будь-яке число, виражене через пі (радіан), можна легко перевести в градусну міру, замінивши число пі (π) на 180.

Приклади:
1. Сінус пі.
sin π = sin 180 = 0
таким чином, синус пі - це теж саме, що синус 180 градусів і він дорівнює нулю.

2. Косинус пі.
cos π = cos 180 = -1
Таким чином, косинус пі - це теж саме, що косинус 180 градусів і він дорівнює мінусу одиниці.

3. Тангенс пі
tg π = tg 180 = 0
таким чином, тангенс пі - це теж саме, що тангенс 180 градусів і він дорівнює нулю.

Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса для кутів 0 - 360 градусів (часті значення)

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах (через число пі)	sin (синус)	cos (Косінус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (Косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Якщо в таблиці значень тригонометричних функцій замість значення функції вказаний прочерк (тангенс (tg) 90 градусів, котангенс (ctg) 180 градусів), значить при даному значенні градусної міри кута функція не має певного значення. Якщо ж прочерку немає - клітина порожня, то ми ще не внесли потрібне значення. Ми цікавимося, за якими запитами до нас приходять користувачі і доповнюємо таблицю новими значеннями, незважаючи на те, що поточних даних про значення косінусів, синусів і тангенсів значень кутів, що найчастіше зустрічаються, цілком достатньо для вирішення більшості завдань.

Таблиця значень тригонометричних функцій sin, cos, tg для найпопулярніших кутів
0, 15, 30, 45, 60, 90...360 градусів
(цифрові значення "як за таблицями Брадіса")

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Значення числа "Пі", як та її символіка відома у всьому світі. Цей термін позначає ірраціональні числа (тобто їх значення не може бути точно виражено у вигляді дробу y/x, де y і x - цілі числа) і запозичений і давньогрецький фразеологізм "переферія", що можна перекласти російською, як "коло".
Число "Пі" в математиці позначає відношення довжини кола до довжини її діаметра.Історія походження числа "Пі" йде в далеке минуле. Багато істориків намагалися встановити, коли і ким був придуманий цей символ, але з'ясувати так і не вдалося.

Число Пі"є трансцендентним числом, або простими словами воно може бути корінням якогось многочлена з цілими коефіцієнтами. Воно може позначатися, як речовинне або, як непряме число, яке є алгебраїчним.

Число "Пі" дорівнює 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...

Число Пі"може бути не лише ірраціональним числом, яке не можна висловити за допомогою кількох різних чисел. Число "Пі" можна уявити якогось десяткового дробу, яке має в своєму розпорядженні нескінченне безліч цифр після коми. Ще цікавий момент – усі ці числа не здатні повторюватися.

Число Пі"можна співвіднести з дробовим числом 22/7, так званим символом "потрійної октави". Це число знали ще давньогрецькі жерці. Крім того, навіть прості жителі могли застосовувати його для вирішення будь-яких побутових проблем, а також використовувати для проектування таких складних будов, як усипальниці.
Як заявляє вчений і дослідник Хейєнс, подібне число можна простежити серед руїн Стоунхенджа, а також виявити в мексиканських пірамідах.

Число Пі"згадував у своїх працях Ахмес, відомий на той час інженер. Він намагався якнайточніше розрахувати його використовуючи при цьому вимірювання діаметра кола по намальованими всередині нього квадратах. Ймовірно, у певному сенсі це число має якийсь містичний, сакральний для стародавніх сенс.

Число Пі"по суті є найзагадковішим математичним символом. Його можна зарахувати до дельти, омеги та ін. Воно являє собою таке ставлення, яке виявиться таким, незалежно в якій точці світобудови буде знаходитися спостерігач. Крім того, воно буде незмінним від об'єкта виміру.

Найімовірніше, першою людиною, яка вирішила обчислити число "Пі" за допомогою математичного методу, є Архімед. Він вирішив він малював у колі правильні багатокутники. Вважаючи діаметр кола одиницею, вчений позначав периметр намальованого у колі багатокутника, розглядаючи периметр вписаного багатокутника, як верхню оцінку, а як нижню оцінку довжини кола

Що таке число "Пі"

Чому дорівнює число Піми знаємо та пам'ятаємо зі школи. Воно дорівнює 3.1415926 і так далі… Звичайній людині достатньо знати, що це число виходить, якщо розділити довжину кола на його діаметр. Але багатьом відомо, що число Пі виникає у несподіваних галузях як математики і геометрії, а й у фізиці. Ну а якщо вникнути в подробиці природи цього числа, можна помітити багато дивовижного серед нескінченного ряду цифр. Чи можливо, що Пі приховує найпотаємніші таємниці Всесвіту?

Нескінченна кількість

Саме число Пі виникає в нашому світі як довжина кола, діаметр якого дорівнює одиниці. Але, незважаючи на те, що відрізок рівний Пі цілком кінцевий, число Пі починається, як 3.1415926 і йде в нескінченність рядами цифр, які ніколи не повторюються. Перший дивовижний факт у тому, що це число, що використовується в геометрії, не можна висловити у вигляді дробу з цілих чисел. Інакше висловлюючись, ви зможете його записати ставленням двох чисел a/b. Крім цього, число Пі трансцендентне. Це означає, що немає такого рівняння (багаточлена) з цілими коефіцієнтами, рішенням якого було б число Пі.

Те, що число Пі є трансцендентним, довів у 1882 році німецький математик фон Ліндеман. Саме цей доказ став відповіддю на запитання, чи можна за допомогою циркуля та лінійки намалювати квадрат, у якого площа дорівнює площі заданого кола. Це завдання відоме як пошук квадратури кола, що хвилювало людство з найдавніших часів. Здавалося, що це завдання має просте рішення і ось-ось буде розкрито. Але саме незбагненне властивість числа Пі показало, що завдання квадратури кола рішення немає.

Протягом щонайменше чотирьох з половиною тисячоліть людство намагалося отримати дедалі точніше значення числа Пі. Наприклад, у Біблії у Третьій Книги Царств (7:23) число Пі приймається рівним 3.

Чудове за точністю значення Пі можна виявити у пірамідах Гізи: співвідношення периметра та висоти пірамід становить 22/7. Цей дріб дає наближене значення Пі, що дорівнює 3.142… Якщо, звичайно, єгиптяни не поставили таке співвідношення випадково. Це значення вже стосовно розрахунку числа Пі отримав у III столітті до нашої ери великий Архімед.

У папірусі Ахмеса, давньоєгипетському підручнику з математики, який датується 1650 роком до нашої ери, число Пі розраховане як 3.160493827.

У давньоіндійських текстах приблизно IX століття до нашої ери найточніше значення було виражено числом 339/108, яке дорівнювало 3,1388.

Після Архімеда майже дві тисячі років люди намагалися знайти способи розрахувати число Пі. У тому числі були як відомі, і невідомі математики. Наприклад, римський архітектор Марк Вітрувій Полліон, єгипетський астроном Клавдій Птолемей, китайський математик Лю Хуей, індійський мудрець Аріабхата, середньовічний математик Леонардо Пізанський, відомий як Фібоначчі, арабський вчений Аль-Хорезмі, від чийого імені Всі вони і безліч інших людей шукали найбільш точні методики розрахунку Пі, але аж до 15 століття ніколи не отримували більше 10 цифр після коми у зв'язку зі складністю розрахунків.

Нарешті, в 1400 індійський математик Мадхава з Сангамаграма розрахував Пі з точністю до 13 знаків (хоча в двох останніх все-таки помилився).

Кількість знаків

У 17 столітті Лейбніц і Ньютон відкрили аналіз нескінченно малих величин, який дозволив обчислювати Пі прогресивніше – через статечні ряди та інтеграли. Сам Ньютон вирахував 16 знаків після коми, але не згадав це у своїх книгах – про це стало відомо після його смерті. Ньютон стверджував, що займався розрахунком Пі виключно від нудьги.

Приблизно одночасно підтягнулися й інші менш відомі математики, які запропонували нові формули розрахунку числа Пі через тригонометричні функції.

Наприклад, за якою формулою розраховував Пі викладач астрономії Джон Мечин в 1706 року: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). За допомогою методів аналізу Мечін вивів із цієї формули число Пі з сотнею знаків після коми.

До речі, у тому ж 1706 року число Пі одержало офіційне позначення як грецької літери: його у своїй праці з математики використав Вільям Джонс, взявши першу літеру грецького слова «периферія», що означає «коло». Великий Леонард Ейлер, що народився в 1707, популяризував це позначення, нині відоме будь-якому школяру.

До ери комп'ютерів математики займалися тим, щоб розрахувати якнайбільше знаків. У зв'язку з цим часом виникали курйози. Математик-аматор У. Шенкс в 1875 розрахував 707 знаків числа Пі. Ці сім сотень знаків увічнили на стіні Палацу Відкриттів у Парижі 1937 року. Однак через дев'ять років спостережними математиками було виявлено, що правильно обчислено лише перші 527 знаків. Музею довелося зазнати пристойних витрат, щоб виправити помилку – зараз усі цифри вірні.

Коли з'явилися комп'ютери, кількість цифр числа Пі стала обчислюватися абсолютно неймовірними системами.

Один з перших електронних комп'ютерів ENIAC, створений у 1946 році, що мав величезні розміри, і виділяв стільки тепла, що приміщення прогрівалося до 50 градусів за Цельсієм, обчислив перші 2037 символів Пі. Цей розрахунок зайняв у машини 70 годин.

У міру вдосконалення комп'ютерів наше знання числа Пі все далі й далі йшло в безкінечність. 1958 року було розраховано 10 тисяч знаків числа. У 1987 році японці вирахували 10 013 395 знаків. У 2011 японський дослідник Сігер Хондо перевищив рубіж в 10 трильйонів знаків.

Де ще можна зустріти Пі?

Отже, найчастіше наші знання про число Пі залишаються на шкільному рівні, і ми точно знаємо, що це число незамінне насамперед у геометрії.

Крім формул довжини і площі кола число Пі використовується в формулах еліпсів, сфер, конусів, циліндрів, еліпсоїдів і так далі: десь формули прості і легко запам'ятовуються, а десь містять дуже складні інтеграли.

Потім ми можемо зустріти число Пі в математичних формулах, де, на перший погляд, геометрії і не видно. Наприклад, невизначений інтеграл від 1/(1-x^2) дорівнює Пі.

Пі часто використовують у аналізі рядів. Для прикладу наведемо простий ряд, який сходиться до Пі:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Серед рядів число Пі найбільш несподівано з'являється у відомій дзета-функції Рімана. Розповісти про неї двома словами не вийде, скажімо лише, що колись число Пі допоможе знайти формулу розрахунку простих чисел.

І зовсім дивно: Пі з'являється у двох найкрасивіших «королівських» формулах математики – формулі Стірлінга (яка допомагає знайти приблизне значення факторіалу та гамма-функції) та формулі Ейлера (яка пов'язує аж цілих п'ять математичних констант).

Проте найбільш несподіване відкриття очікувало математиків теоретично ймовірності. Там теж є число Пі.

Наприклад, ймовірність того, що два числа будуть взаємно простими, дорівнює 6/PI^2.

Пі з'являється в задачі Бюффона про кидання голки, сформульованої в 18 столітті: яка ймовірність того, що кинута на розкреслений аркуш паперу голка перетне одну з ліній. Якщо довжина голки L, а відстань між лініями L, і r > L ми можемо приблизно розрахувати значення числа Пі за формулою ймовірності 2L/rPI. Тільки уявіть – ми можемо отримати Пі із випадкових подій. І між іншим Пі присутній у нормальному розподілі ймовірностей, з'являється у рівнянні знаменитої кривої Гауса. Чи означає це, що число Пі ще фундаментальніше, ніж просто відношення довжини кола до діаметра?

Ми можемо зустріти Пі у фізиці. Пі з'являється в законі Кулона, який описує силу взаємодії між двома зарядами, у третьому законі Кеплера, який показує період обігу планети навколо Сонця, зустрічається навіть у розташуванні електронних орбіталей атома водню. І що знову ж таки неймовірне – число Пі ховається у формулі принципу невизначеності Гейзенберга – фундаментального закону квантової фізики.

Таємниці числа Пі

У романі Карла Сагана «Контакт», за яким знято однойменний фільм, інопланетяни повідомляють героїні, що серед знаків Пі міститься таємне послання від Бога. З деякої позиції цифри в числі перестають бути випадковими і уявляють код, у якому записані всі секрети Світобудови.

Цей роман насправді відобразив загадку, що займає уми математиків усієї планети: чи є Пі нормальним числом, в якому цифри розкидані з однаковою частотою, або з цим числом щось не так. І хоча вчені схиляються до першого варіанту (але не можуть довести), число Пі дуже загадкове. Один японець як підрахував, скільки разів зустрічаються числа від 0 до 9 в першому трильйоні знаків Пі. І побачив, що числа 2, 4 та 8 зустрічаються частіше, ніж решта. Це може бути одним із натяків на те, що Пі не зовсім нормальне, і цифри у ньому справді не випадкові.

Згадаймо все, що ми прочитали вище, і запитаємо себе, яке ще ірраціональне та трансцендентне число так часто зустрічається у реальному світі?

А в запасі є ще дива. Наприклад, сума перших двадцяти цифр Пі дорівнює 20, а сума перших 144 цифр дорівнює «числу звіра» 666.

Головний герой американського серіалу «підозрюваний» професор Фінч розповідав студентам, що через нескінченність числа Пі в ньому можуть зустрітися будь-які комбінації цифр, починаючи від цифр дати вашого народження до складніших чисел. Наприклад, на 762-ій позиції знаходиться послідовність із шести дев'яток. Ця позиція називається точкою Фейнмана на вшанування відомого фізика, який помітив це цікаве поєднання.

Нам відомо також, що число Пі містить послідовність 0123456789, але вона знаходиться на 17 387 594 880-й цифрі.

Все це означає, що в нескінченності числа Пі можна виявити не тільки цікаві поєднання цифр, а й закодований текст «Війни та Світу», Біблії і навіть Головну Таємницю Світобудови, якщо така існує.

До речі, про Біблію. Відомий популяризатор математики Мартін Гарднер у 1966 році заявив, що мільйонним знаком числа Пі (на той момент ще невідомим) буде число 5. Свої розрахунки він пояснив тим, що в англомовній версії Біблії, у 3-й книзі, 14-му розділі, 16 -М вірші (3-14-16) сьоме слово містить п'ять букв. Мільйонну цифру отримали через вісім років. Це було число п'ять.

Чи варто після цього стверджувати, що число Пі є випадковим?

Хто і коли вперше відкрив число π, досі залишається загадкою. Відомо, що будівельники стародавнього Вавилону вже користувалися ним при проектуванні. На клинописних табличках, яким тисячі років, збереглися навіть завдання, які пропонували вирішити за допомогою π. Щоправда, тоді вважалося, що π дорівнює трьом. Про це свідчить табличка, знайдена в місті Сузи, за двісті кілометрів від Вавилону, де число π вказувалося як 3 1/8 .

У процесі обчислень π вавілонці виявили, що радіус кола як хорда входить до неї шість разів, і поділили коло на 360 градусів. А заразом зробили те саме з орбітою сонця. Таким чином вони вирішили вважати, що в році 360 днів.

У Стародавньому Єгипті π дорівнювало 3,16.
У давній Індії – 3,088.
У Італії межі епох вважали, що π дорівнює 3,125.

В Античності рання згадка π відноситься до знаменитої задачі про квадратуру кола, тобто про неможливість за допомогою циркуля і лінійки побудувати квадрат, площа якого дорівнює площі певного кола. Архімед прирівнював π до дробу 22/7.

Найближчим до точного значення π підійшли в Китаї. Його обчислив у V столітті н. е. знаменитий китайський астроном Цзу Чунь Чжі. Обчислювалося досить просто. Треба було двічі написати непарні числа: 113355, а потім, розділивши їх навпіл, помістити перше в знаменник дробу, а друге – в чисельник: 355/113. Результат збігається із сучасними обчисленнями π аж до сьомого знака.

Значення числа(вимовляється «пі») - математична константа, рівна відношенню

Позначається буквою грецького алфавіту пі. Стара назва лудольфове число.

Чому дорівнює число пі?У найпростіших випадках вистачає знати перші 3 знаки (3,14). Але для більш

складних випадків і там, де потрібна більша точність, необхідно знати більше, ніж 3 цифри.

Яке число пі? Перші 1000 знаків числа пі після коми:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

У звичайних умовах приблизне значення числа пі можна обчислити за пунктами,

наведеним нижче:

1. Беремо коло, обмотуємо по краю нитку один раз.
2. Вимірюємо довжину нитки.
3. Вимірюємо діаметр кола.
4. Ділимо довжину нитки на довжину діаметра. Отримали кількість пі.

Властивості числа Пі.

• пі- Ірраціональне число, тобто. значення числа пі не можна точно виразити у вигляді

дроби m/n, де mі nє цілими числами. З цього видно, що десяткове уявлення

числа пі ніколи не закінчується і воно не є періодичним.

• пі- трансцендентне число, тобто. воно не може бути корінням якогось багаточлена з цілими

коефіцієнтами. У 1882 році професор Кенігсберзький довів трансцендентність числа пі, а

Пізніше, професором Мюнхенського університету Ліндеманом. Доказ спростив

Фелікс Клейн у 1894 році.

• тому що в евклідовій геометрії площа кола і довжина кола - це функції числа пі,

то доказ трансцендентності піддав кінець суперечці про квадратуру кола, що тривало більше

2,5 тисячі років.

• піє елементом кільця періодів (тобто обчислюваним і арифметичним числом).

Але ніхто не знає, чи належить до кільця періодів.

Формула числа пі.

• Франсуа Вієт:

• Формула Валліса:

• Ряд Лейбниця:

• Інші ряди: