(У перекладі з грецьк. кругоподібний) – плоска трансцендентна крива, яку описує точка кола радіусу r, що котиться по прямій без ковзання (трансцендентною кривою називається крива, яка в прямокутних координатахне може бути описана рівнянням алгебри). Її параметричне рівняння
x = rt – r sin t,
y= r - r cos t
Точки перетину циклоїди з прямою, якою котиться коло (це коло називається виробляє, а пряма, якою вона котиться, – напрямної), називаються точками повернення, а найвищі точки на циклоїді, розташовані посередині між сусідніми точками повернення, називаються вершинами циклоїди.
Першим вивчати циклоїду почав Галілео Галілей. Довжина однієї арки циклоїди була визначена в 1658 р. англійським архітектором і математиком Крістофером Реном, автором проекту і будівельником купола собору Святого Павла в Лондоні. Виявилося, що довжина циклоїди дорівнює 8-ми радіусам колу, що виробляє.
Одна з чудових властивостей циклоїди, що дала їй назву - брахистохрона (від грецьких слів "найкоротший" і "час" пов'язане з вирішенням задачі про якнайшвидший спуск). Постало питання, яку форму треба надати добре відшліфовані (щоб практично виключити тертя) жолобу, що з'єднує дві точки, щоб кулька скотився вниз від однієї точки до іншої в найкоротший час. Брати Бернуллі довели, що жолоб повинен мати форму перекинутої вниз циклоїди.
Споріднені циклоїди криві можна отримати, розглядаючи траєкторії точок, що не знаходяться на колі, що виробляє.
Нехай точка З 0знаходиться всередині кола. Якщо провести через З 0допоміжне коло з тим же центром, що і у виробляючого кола, то при коченні виробляє кола по прямій АВмаленьке коло котитиметься по прямій A´ В´, але її кочення супроводжуватиметься ковзанням, і точка З 0описує криву, звану укороченою циклоїдою.
Аналогічним чином визначається подовжена циклоїда - це траєкторія точки, розташованої на продовженні радіуса виробляє кола, при цьому кочення супроводжується ковзанням у протилежному напрямку.
Циклоідальні криві застосовуються при багатьох технічних розрахунках і властивості їх використовуються, наприклад, при побудові профілів зубів шестерень, циклоїдальних маятниках, в оптиці і, таким чином, вивчення цих кривих важливо з прикладної точки зору. Не менш важливо і те, що, вивчаючи ці криві та їх властивості, вчені 17 ст. розробляли прийоми, які призвели до створення диференціального та інтегрального обчислень, а задача про брахистохрон є кроком до винаходу варіаційного обчислення.
Олена Малишевська
ЛЕМНИСКАТИ
Рівняння у полярних координатах:
r 2 = a 2 cos2θ
(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)
Кут між AB" або A"B та віссю x = 45 o
Площа однієї петлі = a 2/2
ЦИКЛОЇДА
Площа однієї дуги = 3πa 2
Довжина дуги однієї арки = 8a
Це крива, що описується точкою Р на колі радіусом а, яка котиться вздовж осі х. 
ГІПОЦИКЛОЇДИ З ЧОТИМАРЯМ ГОРІЯМИ
Рівняння у прямокутних координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Рівняння у параметричній формі: 
Площа, обмежена кривою = 3πa 2 /8
Довжина дуги цілої кривої = 6a
Це крива, що описується точкою Р на колі радіусом a/4, яка котиться всередині кола радіусом a. 
Кардіоіда
Рівняння: r = a(1 + cosθ)
Площа, обмежена кривою = 3πa 2 /2
Довжина дуги кривої = 8a
Це крива, що описується точкою Р на колі радіусом a, яка котиться зовні кола радіусом a. Ця крива також є окремим випадком равлика Паскаля. 
Ланцюгова лінія
Рівняння:
y = a(e x/a + e-x/a)/2 = acosh(x/a)
Це крива, за якою повисла б ланцюг, підвішена вертикально від точки А до В. 
Триплесткова троянда
Рівняння: r = acos3θ
Рівняння r = acos3θ подібно до кривої, отриманої обертанням проти годинникової стрілки по кривій 30 o або π/6 радіан.
Загалом, r = acosnθ або r = asinnθ має n пелюсток, якщо n є непарним. 
ЧОТИРЕХЛЮБИЛЬНА РОЖА
Рівняння: r = acos2θ
Рівняння r = asin2θ подібно до кривої, отриманої обертанням проти годинникової стрілки по кривій 45 o або π/4 радіан.
Загалом r = acosnθ або r = asinnθ має 2n пелюсток, якщо n - парне. 
Епіциклоіда
Параметричні рівняння: 
Це крива, що описується точкою Р на колі радіусу b, коли вона котиться по зовнішній стороні кола радіусом а. Кардіоїда є окремим випадком епіциклоїди. 
ЗАГАЛЬНА ГІПОЦИКЛОЇДА
Параметричні рівняння: 
Це крива, що описується точкою Р на колі радіусу b, коли вона котиться по зовнішній стороні кола радіусом а.
Якщо b = a/4, крива є гіпоциклоїдою з чотирма вістрями. 
ТРОХОЇДА
Параметричні рівняння: 
Це крива, що описується точкою Р на дистанції b від центру кола з радіусом а, коли вона котиться по осі x.
Якщо b укороченою циклоїдою.
Якщо b > a, крива має форму, показану на рис. 11-11 і називається триодою.
Якщо b = a, крива є циклоїдою. 
ТРАКТРИСА
Параметричні рівняння: 
Це крива, що описується кінцевою точкою Р натягнутої струни довжиною PQ, коли інший кінець Q переміщається вздовж осі х. 
ВЕРЗЬЄРА (ВЕРЗІЄРА) АНЬЄЗІ (ІНОДІ ЛОКОН АНЬЄЗІ)
Рівняння у прямокутних координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)
Параметричні рівняння: 
В. На малюнку змінна лінія OA перетинає y = 2a і коло з радіусом a з центром (0,a) A і B відповідно. Будь-яка точка P на "локоні" визначається побудовою ліній, паралельних до осей x та y, і через B і A відповідно і визначають точку перетину P. 
ДЕКАРТІВ ЛИСТ
Рівняння у прямокутних координатах:
x 3 + y 3 = 3axy
Параметричні рівняння: 
Площа петлі 3a 2/2
Рівняння асимптоти: x + y + a = 0. 
ЕВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТІ
Параметричні рівняння: 
Ця крива описана кінцевою точкою P струни, коли вона розмотується з кола з радіусом a. 
ЕВОЛЬВЕНТА ЕЛЛІПСУ
Рівняння у прямокутних координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3
Параметричні рівняння: 
Ця крива є оминаючої нормаллю до еліпсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. 
ОВАЛИ КАСІНІ
Полярне рівняння: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .
Це крива, що описується такою точкою P, що добуток її відстані від двох фіксованих точок [відстань 2a у бік] є постійною b 2 .
Крива, як на фігурах унизу, коли b a відповідно.
Якщо b = a, крива є лемніскату
СЛИМАК ПАСКАЛЯ
Полярне рівняння: r = b + acosθ
Нехай OQ буде лінією, що з'єднує центр O з будь-якою точкою Q на колі діаметром a проходить через O. Тоді крива є фокусом усіх точок P, таких, що PQ = b.
Крива, показана на малюнках внизу, коли b > a або b 
ЦИСОІДА ДІОКЛУ
Рівняння в прямокутних координатах: y2 = x3/(2a - x)
Параметричні рівняння: 
Це крива, що описується такою точкою P, що відстань OP = відстані RS. Використовується в задачі подвоєння куба, тобто. знаходження сторони куба, який має подвоєний обсяг заданого куба 
СПІРАЛЬ АРХІМЕДА
Полярне рівняння: r = aθ 
Цикломіда (від греч.кхклпейдЮт - круглий) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє кола радіуса r, що котиться без ковзання по прямій.
Рівняння
Приймемо горизонтальну вісь координат в якості прямої, по якій котиться кола радіуса r, що виробляє.
· Циклоїда описується параметричними рівняннями
Рівняння в декартових координатах:
· Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:
Властивості
- · Циклоїдаперіодична функція по осі абсцис, з періодом 2рr. За межі періоду зручно прийняти спеціальні точки (точки повернення) виду t = 2рk, де k - довільне ціле число.
- · Для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці A достатньо з'єднати цю точку з верхньою точкою колу, що виробляє. З'єднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.
- · Довжина арки циклоїдів дорівнює 8r. Цю властивість відкрив Крістофер Рен (1658).
- · Площа під кожною аркою циклоїди втричі більша, ніж площа кола, що породжує. Торрічеллі запевняє, що цей факт було відкрито Галілеєм.
- · Радіус кривизни у першої арки циклоїди дорівнює.
- · «Перевернути» циклоїду є кривою якнайшвидшого спуску (брахистохроною). Більше того, вона має також властивість таутохронності: важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за один і той самий час.
- · Період коливань матеріальної точки, що ковзає по перевернутій циклоїді, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників.
- · Еволюта циклоїди є циклоїдою, конгруентною вихідною, а саме – паралельно зрушеною так, що вершини переходять у «вістря».
- · Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний та поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїду, епіциклоїду, гіпоциклоїду, трооїду, астроїду) (пор. побудова лемніскати Бернуллі).
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
Заклад освіти
«Білоруський державний педагогічний
університет імені Максима Танка»
Фізико-математичний факультет
Кафедра математики та методики викладання математики
КУРСОВА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ
«ЦИКЛОЇДА»
Мінськ, 2016
циклоїду арка таутохронний маятник
- Вступ
- 1. Основні властивості циклоїдів
- 2. Геометричне визначення циклоїди
- 3. Площа арки циклоїди
- 4. Довжина дуги арки циклоїди
- 5. Обсяг тіла, отриманого обертанням арки циклоїди
- 6. Найкращий маятник
- Висновок
- Список використаної літератури
ВСТУП
Тема моєї курсової роботи – циклоїда. Ця крива чудова у багатьох відношеннях. Вона - і слід точки обода колеса, що котиться, вона ж крива коливань постійного періоду, вона ж крива найшвидшого спуску. У наш час циклоїдні криві застосовуються при багатьох технічних розрахунках, і знання цих кривих полегшує вивчення деталей машин. Не вдаючись у подробиці, згадаємо, що властивостями циклоїдальних кривих користуються при побудові профілів зубів шестерень та у багатьох інших технічних питаннях. Навіть із суто прикладної точки зору ці криві заслуговують на найсерйознішу увагу. Тому я вважала цю тему актуальною та цікавою для вивчення.
Які завдання виникають щодо циклоїди? Насамперед, потрібно дати їй чисто геометричне визначення, незалежне від механіки. Далі потрібно вивчити її властивості, розглянути дотичну, обчислити площу, обмежену аркою циклоїди та її основою, довжину дуги, об'єм тіла, утвореного обертанням арки циклоїди навколо напрямної прямої.
У роботі докладно буде розглянуто таутохронне властивість циклоїди і застосування його для створення найкращого маятника. Значення маятникового годинника не можна применшити, тому що вони аж до недавнього часу виконували роль найточніших годинників, що забезпечують службу часу в астрономічних обсерваторіях.
Ще однією заслугою циклоїди, яку не можна не відзначити, є те, що їй скористалися вчені при розробці прийомів дослідження кривих ліній, що призвели до винаходу диференціального та інтегрального обчислень. У своїй роботі я пропоную порівняти обчислення довжини дуги арки циклоїди, площі поверхні під аркою та об'єми тіл, утворених обертанням арки циклоїди до появи інтегрального обчислення, довгих і не завжди абсолютно строгих, та з використанням інтегрування.
Мета роботи:вивчення матеріалу на тему «Циклоіда»; вивчення особливостей найкращого маятника; порівняння дослідження кривих ліній до та після появи інтегрального обчислення, обчислення довжини дуги арки циклоїди, площі поверхні під аркою та об'єми тіл, утворених обертанням арки циклоїди.
1. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЦИКЛОЇДИ
Для початку необхідно з'ясувати, яка крива називається циклоїдою.
Розглянемо коло радіусу aз центром у точці А. Нехай коло котиться без ковзання вздовж осі ОХ. Крива, яка описується при цьому будь-якою точкою кола, називається циклоїдою.
Це визначення циклоїди ніколи не задовольняло вчених: адже воно спирається на механічні поняття - швидкості, складання рухів і т. д. Тому геометри завжди прагнули дати циклоїді "чисто геометричне визначення". властивості циклоїди, користуючись її механічним визначенням Вибравши найбільш просте та характерне з цих властивостей, можна покласти його в основу геометричного визначення.
Почнемо з вивчення дотичної та нормалі до циклоїди. Що таке дотичнадо кривої лінії, кожен уявляє собі досить ясно; тому його наводити тут не будемо. Нормаллюназивається перпендикуляр до дотичної, відновлений у точці дотику. На рис. 1.1 зображено дотичну та нормаль до кривої АВ у її точці М.
Розглянемо циклоїд (рис.1.2). Коло котиться прямою АВ. Припустимо, що вертикальний радіус кола, що проходив у початковий момент через нижню точку циклоїди, встиг повернутись на кут ц і зайняв положення ЗМ. Іншими словами, ми вважаємо, що відрізок М Т становить таку частку відрізка М М 1 , Яку кут ц становить від повного обороту. При цьому точка М0 прийшла до точки М.
Точка М і є цікава для нас точка циклоїди.
Стрілочка OHзображує швидкість руху центру кола, що котиться. Такою самою горизонтальною швидкістю володіють всі точки кола, у тому числі і точка М. Але, крім того, точка М бере участь у обертанні кола. Швидкість МС, яку точка М на колі отримує при цьому обертанні, спрямована по дотичній МС 1 до кола, тобто перпендикулярно до радіусу ВМ.А т.к. у цьому випадку швидкість МС за величиною дорівнює швидкості MP (тобто швидкості ВІН).Тому паралелограм швидкостей у разі руху буде ромбом (ромб МСКР на рис. 1.2). Діагональ МК цього ромба якраз і дасть нам дотичні до циклоїди.
Все сказане дає можливість вирішити наступне завдання на побудову: дана напрямна пряма АВ циклоїди, радіус r кола, що виробляє, і точка М, що належить циклоїді (рис. 1.2). Потрібно побудувати дотичну МК до циклоїди.
Маючи точку М, ми легко будуємо виробляє коло, у тому його положенні, коли точка на колі потрапляє в М. Для цього попередньо знайдемо центр Проза допомогою радіусу МО= r (Точка О должка лежати на прямій, паралельній АВ, на відстані r від неї). Потім будуємо відрізок MP довільної довжини, паралельний напрямній прямій. Далі будуємо пряму МС 1 , перпендикулярну до ОМ. На цій прямій відкладаємо від крапки Мвідрізок МС, що дорівнює MP. На МС та MP, як на сторонах, будуємо ромб. Діагональ цього ромба і буде стосуватися циклоїди в точці М.
Ця побудова - чисто геометрична, хоча отримали її, використовуючи поняття механіки. Тепер ми можемо попрощатися з механікою та подальші наслідки отримувати без її допомоги. Почнемо із простої теореми.
Теорема 1. Кут між дотичною до циклоїди (У довільній точці)і напрямної прямий дорівнює доповненню до 90°половини кута повороту радіусу кола.
Іншими словами, на рис. 1.2
? KLTдорівнює або
Цю рівність ми тепер доведемо. Для скорочення промови умовимося кут ц повороту радіуса кола, що виробляє, називати «основним кутом». Отже, кут МОП на рис. 1.2 - основний кут. Вважатимемо основний кут гострим. Для випадку, коли коло, що котиться, зробить більше чверті повного обороту, доказ буде аналогічним.
Розглянемо кут БМР. Сторона РМ перпендикулярна ОМ(Доторка до кола перпендикулярна радіусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна до ВІД(До вертикалі). Але кут МОР, за умовою, гострий, а кут БМР - тупий. Значить, кути МОПі БМРстановлять у сумі 180 ° (кути з взаємно перпендикулярними сторонами, з яких один гострий, а інший - тупий).
Отже, кут CMP дорівнює 180 °-ц. Але, як відомо, діагональ ромба поділяє кут при вершині навпіл. Отже, уго
КМР = 90° -,
що і потрібно було довести.
Звернімо тепер увагу на нормаль до циклоїди. Зобразимо ліву частину рис. 1.2 більший, причому проведемо нормаль ME (ME ? МК; Рис. 1.3).
З рис. 1.3 слід, що кут ЕМР дорівнює різниці кутів КМЕі КМР, тобто. дорівнює 90 ° - ? KMP.
Але ми щойно довели, що сам кут КМРдорівнює 90 ° -
Таким чином, отримуємо:
? РМЕ= 90 ° -? КМР= 90 ° - (90 ° -) =
Ми довели просту, але корисну теорему. Дамо її формулювання:
Теорема 2.Кут між нормаллю до циклоїди (У будь-якій її точці)і напрямної прямий дорівнює половині «основного кута».
З'єднаємо» точкою (Т) виробляючого кола тепер точку М («поточну» точку циклоїди) з «нижньою (з точкою торкання кола, що виробляє і напрямною прямий - рис. 1.3). Трикутник МОП, очевидно, рівнобедрений (ОМ та ВІД- Радіуси виробляючого кола). Сума кутів на підставі цього трикутника дорівнює 180° - ц, а кожен із кутів на підставі - половнику цієї суми. Отже, ? OMT = 90 ° -.
Звернімо увагу на кут РМТ.Він дорівнює різниці кутів ВМТі ВМР. Ми бачили зараз, що ? OMTдорівнює 90 ° -; що стосується кута ГМР, то неважко з'ясувати, чому він дорівнює. Адже кут ВМРдорівнює куту DOM(Внутрішні кути при паралельних).
Безпосередньо очевидно, що ? DOM дорівнює 90 ° - ц. Отже, ? OMP = = 90 ° - ц. Таким чином, отримуємо:
РМТ = ? ВМТ - ? ГМР = 90 ° - - (90 ° - ц) = .
Виходить чудовий результат: кут РМТвиявляється рівним куту РМЕ (за теоремою 2). Отже, прямі ME та МТ зіллються! Наш рис. 1.3 зроблено не зовсім правильно! Правильне розташування ліній дане на рис. 1.4.
Сформулюємо отриманий результат як теореми 3.
Теорема 3 (перша основна властивість циклоїди).Нормаль до циклоїди проходить через «нижню» точку кола.
З цієї теореми виходить просте слідство. Кут між дотичною та нормаллю, за визначенням, - прямий. Це кут, вписаний у коло виробляє кола. Тому він має спиратися на діаметр кола. Отже, ТТ 1 - Діаметр, і T 1 - "верхня" точка виробляє кола. Сформулюємо отриманий результат.
Наслідок (друга основна властивість циклоїди).Дотична до циклоїди проходить через «верхню» точку кола.
Щоб пояснити цю властивість, нам необхідно побудувати циклоїду.
Побудова циклоїди проводиться у наступній послідовності:
1. На напрямній горизонтальній прямій відкладають відрізок АА 12 , рівний довжині виробляє кола радіусу r, (2рr);
2. Будують виробляючу коло радіусу r, так щоб напрямна пряма була дотичною до неї в точці А;
3. Коло і відрізок АА 12 ділять на кілька рівних частин, наприклад, 12;
4. З точок поділів 1 1, 2 1, ...12 1 відновлюють перпендикуляри до перетину з продовженням горизонтальної осі кола в точках 0 1, 0 2, ... 0 12;
5. З точок поділу кола 1, 2, ...12 проводять горизонтальні прямі, на яких роблять засічки дугами кола радіуса r;
6. Отримані точки А1, А2, ... А12 належать циклоїді.
На рис. 1.6 основа циклоїди розділена на 6 рівних частин;
Чим число поділів буде більше, тим креслення вийде точніше. У кожній точці циклоїди, побудованої нами, проведемо дотичну, з'єднуючи точку кривої з верхньою точкою виробляючого кола. На нашому кресленні вийшло сім дотичних (з них дві – вертикальні). Проводячи тепер циклоїду від руки, дбатимемо, щоб вона справді стосувалася кожної з цих дотичних: це значно збільшить точність креслення. При цьому сама циклоїда огинатиме всі ці дотичні).
Проведемо на тому ж рис. 1.6 нормалі у всіх знайдених точках циклоїдів. Усього буде, крім напрямної, п'ять нормалей. Можна побудувати від руки огинаючу цих нормалей. Якби ми замість шести взяли 12 або 16 точок поділу, то нормалей на кресленні було б більше, і огинаюча намітилася б ясніше. Така оминає всіх нормалей відіграє важливу роль при вивченні властивостей будь-якої кривої лінії. У разі циклоїди виявляється цікавий факт: огибающей нормалей циклоїди служить така сама циклоїда, тільки зрушена на 2 aвниз і на раправоруч. Цей факт характерний саме для циклоїдів.
2. ГЕОМЕТРИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ЦИКЛОЇДИ
Тепер ми дамо визначення циклоїдів як геометричного місця точок, не користуючись механікою. Найпростіше зробити так. Розглянемо довільну пряму АВ(будемо умовно вважати її напрямок горизонтальним) і на ній точку М 0 . Далі розглянемо всілякі кола певного радіусу, що стосуються цієї прямої та розташовані по одну сторону від неї. На кожному колі від точки Тторкання його з прямою АВвідкладемо (у напрямку до точки М 0 ) дугу ТМ,по довжині рівну відрізку М 0 Т.Геометричне місце точок М(взятих на всіх згаданих нами колах) і буде циклоїдою.
Встановимо ще одну важливу властивість циклоїди і спробуємо саме покласти в основу вивчення цієї кривої.
Розглянемо трикутник МТТ 1 (рис. 2.1), утворений вертикальним діаметром виробляючого кола, що стосується циклоїди і нормаллю до неї.
Кут МТ 1 Т, Як вписаний в коло, дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту ж дугу, тобто дорівнює. Проведемо МК||АВ і ME?АВ.Відрізок МЕ гратиме надалі значну роль, тому дамо йому ім'я та позначення: називатимемо його «висотою» точки М циклоїди і позначатимемо буквою h.Отже, висота точки Мциклоїди - це відстань її від напрямної прямої.
Звернімо увагу на кут КМТ. Він дорівнює куту МТ 1 Т. З трикутника ТМТ 1 отримуємо:
МТ = 2 аsinа з трикутника ТКМ:
КТ = МТ sin.
Зіставляючи ці результати і помічаючи, що КТ = h, отримаємо остаточно:
h = 2 a sin 2 .
Ми висловили висоту точки М через кут між дотичною у точці М і вертикаллю (горизонталлю ми, як і раніше, вважаємо напрямок прямої АВ). Тепер висловимо синус цього кута через висоту. Отримаємо, очевидно:
де через kпозначено постійну для даної циклоїди величину . Отриманий результат викладемо у теоремі.
Теорема 4.Синус кута між дотичною до циклоїди у точці М та вертикаллю пропорційний квадратному кореню з «висоти» точки М.
Цю властивість має, очевидно, будь-яка циклоїда. Виникає питання: якою мірою ця властивість характеризує саме циклоїду: чи буде будь-яка крива, що має цю властивість, неодмінно циклоїдою? Можна довести, що це буде саме так, що вірна і наступна (зворотна) теорема:
Теорема 5.Якщо дані пряма АВ і точка М, то єдиною кривою, яка відповідає умовам теореми 4 і проходить через точку М, буде циклоїда.
При цьому радіус колу цієї циклоїди пов'язаний з коефіцієнтом k, Про яке йдеться в теоремі 4, наступним співвідношенням:.
Варто також звернути увагу на ще одну чудову криву, яку називають супутницею циклоїди.
Розглянемо циклоїд (рис. 2.2). З її точки М опустимо перпендикуляр на вертикальний діаметр кола, що виробляє. Отримаємо точку Р. Виконаємо таку побудову для всіх без винятку точок циклоїди.
Тоді точка P опише деяку криву. Ця крива і називається супутницею циклоїди
Розглянемо циклоїду, точку М на ній та відповідну точку Р на супутниці (рис. 2.3) Центр кола, що виробляє, позначимо буквою Q. Тоді матимемо:
QP=QM cos?MQP= a cos(180 0 -ц)=- a cosц=- a sin(90 0 -ц)= a sin(ц-90 0).
Накреслимо геометричне місце центрів кола, що виробляє (пряма ХХ 1 ). Від точки М 0 відкладемо по АВвідрізок М 0 K, рівний. Проведемо KY ? ХХ 1 . Точку перетину цих прямих позначимо буквою Про. Відрізок M 0 Rна напрямній прямий від вістря циклоїди до точки дотику кола, що виробляє, дорівнює aц, де ц - основний кут MQR, виражений у радіанах. Відрізок OQна горизонтальній осі ХХ 1 дорівнює M 0 R - M 0 K=a(ц -), а відрізок QPдорівнює a sin? PMQ, тобто. дорівнює синусу кута (ц -), помноженому на радіус a.
Отже, від точки Пропо горизонталі відкладаються відрізки, рівні за довжиною дугах кола, а, по вертикалі лінії синусів відповідних цим дугам кутів. Це є відома нам побудова звичайної синусоїди.
Значить, супутницею циклоїди називають синусоїду.
Не заглиблюватимемося у вивчення властивостей цієї воістину чудової кривої, відзначимо як факт лише, що площа, обмежена супутницею однієї арки циклоїди та її основою, дорівнює подвоєній площі кола, що виробляє.
3. ПЛОЩА АРКИ ЦИКЛОЇДИ
Перша згадка про обчислення площі, укладеної між аркою циклоїди та її основою, є у працях Вівіані та Торрічеллі. Вони користувалися особливим прийомом, який називався «способом неподільних». Цей спосіб полягає в тому, що криволінійну фігуру розбивають на нескінченно тонкі смужки, площа яких знаходиться порівняно легко, а потім складаються ці площі. Цей прийом призвів до появи через півстоліття інтегрального обчислення.
Розглянемо фігуру, обмежену аркою циклоїди та синусоїдою. На малюнку 3.1 ця фігура, що складається з двох пелюсток, обведена жирною лінією. Займемося обчисленням її площі.
Насамперед, побудуємо дзеркальне відображення правої пелюстки фігури щодо напрямної прямої АВ (це відображення дано на малюнку 4.1 штриховою лінією). Перенесемо потім цю штрихову криву наліво вгору і прикладемо її до лівої пелюстки так, щоб дуги синусоїд, що входять до контуру кожної з пелюсток, збіглися. Отримаємо опуклу фігуру, заштриховану на малюнку 3.1 та зображену окремо на рис. 3.2. Таку фігуру називають фігурою Роберваля. Встановимо найважливіші властивості цієї постаті.
1.Випукла фігура М 0 РLM рівновелика двопелюстковій фігурі, зображеної жирною лінією на рис.3.1. Це видно з того, що вона складена з тих же пелюсток.
2. Будь-яка горизонтальна хорда опуклої фігури дорівнює подвоєній хорді пелюстки, що знаходиться на тій самій відстані від АВ. Дійсно, хорди РЄ і РН (рис. 3.1) правої пелюстки, рівновіддалені від кола, що виробляє, однаково віддалені від центру. Значить КТ = РЄ = РН = Р 1 Н 1 = TL.
Це дає важливий результат: хорда МР опуклої фігури (рис. 3.2) дорівнює хорді кола, що виробляє СК, розташований на тій же відстані від напрямної прямої.
Розглянемо тепер опуклу фігуру Роберваля і коло, що стосуються тих же прямих АВ і А 1 В 1 і точки їх перетину з колом і з контуром опуклої фігури з'єднаємо послідовно прямолінійними відрізками, як показано на малюнку. Отримані таким чином вписані багатокутники (HLMNPQRSTKі H 1 L 1 M 1 N 1 P 1 Q 1 R 1 S 1 T 1 K 1) ми називатимемо «відповідними» багатокутники на ряд трапецій (і трикутників). Площі «відповідних» трапецій у колі та у фігурі Робервеля, наприклад NPRS і N 1 P 1 R 1 S 1 , рівні, тому що у цих трапецій відповідно рівні нижні основи, верхні основи (відповідні хорди) і висоти. На рис. 3.2 рівновеликі відповідні трапеції покриті однаковим штрихуванням.
Тепер необмежено збільшуватимемо число «проміжних» прямих, паралельних АВ, так щоб відстань між будь-якою сусідньою парою прагнула до нуля. Тоді в колі ми отримаємо серію вписаних багатокутників, кількість сторін яких необмежено зростає, а кожна сторона прагне нуля. Ми знаємо, що площі S n цих багатокутників мають межу площу кола:
lim S n=р a 2 .
Як поводитиметься при цьому послідовність багатокутників, вписаних у опуклу фігуру Роберваля? Площу? n послідовних вписаних багатокутників прагнутиме площі? фігури Роберваля. Відомо, що якщо дві змінні величини зберігають при всіх своїх змінах відповідно рівні значення і одна з них прагне певної межі, до того ж межі прагне інша. Але кожен багатокутник, вписаний у фігуру Роберваля, рівновеликий відповідному багатокутнику, вписаному в коло. Тому ми укладаємо, що межа площ багатокутників, вписаних у фігуру Роберваля, дорівнює межі площ відповідних багатокутників, вписаних у коло; а це означає, що площа опуклої фігури Роберваля дорівнює площі кола, що виробляє:
Звідси отримуємо негайне наслідок: площа двопелюсткової фігури дорівнює площі кола, що виробляє.
Погляньмо тепер на малюнок 3.1. Площа фігури AOTPBKA, як ми бачили, дорівнює подвоєної площі кола, що виробляє. Площа двопелюсткової фігури ми щойно визначили: вона дорівнює площі кола, що виробляє. Отже, площа, обмежена аркою циклоїди та її основою, дорівнює потрійній площі кола, що виробляє.
Тепер знайдемо площу, укладену між аркою циклоїди та її основою за допомогою диференціальної геометрії.
Де t? .
Знайдемо похідну
4. ДОВЖИНА ДУГИ АРКИ ЦИКЛОЇДИ
Довжина дуги циклоїди вперше була обчислена англійським архітектором та математиком Реном у 1658 році. Рен виходив з механічних міркувань, що нагадують перші роботи Торрічеллі та Роберваля. Він розглядав поворот кола, що котилося, на вельми малий кут біля «нижньої» точки виробляючого кола. Щоб надати наведеним міркуванням Рена доказову силу, довелося б розглянути цілу низку допоміжних теорем, відповідно довелося б витратити дуже багато праці.
Набагато зручніше скористатися довшим, але пологим шляхом. Для цього потрібно розглянути особливу криву, яка має кожну пологу криву - її розгортку.
Розглянемо опуклу дугу АВ кривої лінії (рис. 4.1). Уявімо, що до дуги АВ у точці А прикріплена гнучка нерозтяжна нитка такої ж довжини, як сама дуга АВ, причому ця нитка «навернута» на криву і щільно до неї прилягає, так що її кінець збігається з точкою В. Будемо «розгортати» - розпрямляти нитку, тримаючи її натягнутою, так що вільна частина см нитки буде весь час спрямована по дотичній до дуги АВ. За цих умов кінець нитки опише деяку криву. Ось ця крива і називається розгорткою або, латиною, евольвентоювихідний кривій.
Якщо дуга кривої не всюди випукла в один бік, якщо вона, подібно до кривої АВ на рис. 4.2 має точку С, в якій дотична до кривої переходить з одного її боку на іншу (така точка називається точкою перегину), то і в цьому випадку можна говорити про розгортку кривої, але міркування доведеться трохи ускладнити.
Уявімо, що нитка закріплена якраз у точці перегину С (рис. 4.2). Нитка, змотуючи з дуги ПС, опише криву ВМР - розгортку.
Тепер уявімо нитку, намотану на дугу АС вихідної кривої, але ця нитка вже подовжена: у точці С до неї прив'язаний шматочок нитки СР. Змотуючи подовжену нитку АСР з кривою СА, ми отримаємо дугу РНК, що утворює разом з дугою ВМР єдину безперервну криву - безперервну, але не скрізь плавну: точці прогину З вихідною кривою буде відповідати вістря (точка повернення) крива ВМРНК (Розгорткою) кривою ВСА.
Ці приклади допомогли нам звикнути до нових понять еволюти та евольвенти. Тепер займемося дослідженням розгорток циклоїдальних кривих.
Вивчаючи ту чи іншу криву, ми часто будували допоміжну криву - «супутницю» цієї кривої. Так, ми коштували синусоїду – супутницю циклоїди. Тепер, виходячи з даної циклоїди, ми постоїмо нерозривно пов'язану з нею допоміжну циклоїду. Виявляється, спільне вивчення такої пари циклоїдів у деяких відносинах простіше, ніж вивчення однієї окремо взятої циклоїди. Таку допоміжну циклоїду ми називатимемо супроводжуючою циклоїдою.
Розглянемо половину арки циклоїдів АМВ (рис. 4.3). Нас не повинно бентежити, що ця циклоїда розташована незвичним чином («вгору ногами»). Проведемо 4 прямі, паралельні напрямної прямий АК на відстанях a, 2a, 3aта 4 a. Побудуємо коло, що виробляє, в положенні, що відповідає точці М (на рис. 4.3 центр цього кола позначений буквою О). Кут повороту МОН позначимо через ц. Тоді відрізок АН дорівнюватиме бц (кут ц виражений у радіанах).
Діаметр НТ кола, що виробляє, продовжимо за точку Т до перетину (у точці Е) з прямою РР. На ТІ як діаметрі побудуємо окружність (з центром Про 1). Побудуємо дотичну до точки М до циклоїди АМВ. Для цього точку М потрібно, як ми знаємо, з'єднати з точкою Т. Продовжимо дотичну МТ за точку Т до перетину з допоміжним колом і точку перетину назвемо М 1 . Ось цією точкою М 1 ми і хочемо тепер зайнятися.
Кут МОН ми позначили через ц. Тому кут МТН дорівнюватиме (вписаний кут, що спирається на ту ж дугу). Трикутник ТО 1 М 1 очевидно, рівнобедрений. Тому не тільки кут О 1 ТМ 1 , а й кут ТМ 1 О 1 кожен рівнятиметься. Таким чином, на частку кута ТО 1 М 1 у трикутнику ТО 1 М 1 залишається рівно р - ц радіанів (згадаємо, що кут 180? дорівнює р радіанів). Зауважимо ще, що відрізок НК дорівнює, зрозуміло, б (р - ц).
Розглянемо тепер кола з центром Про 2 , зображену на рис.4.3 штриховою лінією. З креслення ясно, що це за коло. Якщо котити її без ковзання по прямій СВ, то її точка опише циклоїду ВВ. Коли штриховий круг повернеться на кут р - ц, центр О 2 прийде в точку О 1, а радіус О 2 займе положення О 1 М 1 . Отже, побудована нами точка М 1 виявляється точкою циклоїди ВР.
Описане побудова ставить у відповідність кожній точці М циклоїди АМВ точку М 1 циклоїди ВМ 1 В. На рис. 4.4 ця відповідність показана більш наочно. Отримана таким шляхом циклоїду називається супроводжуючою. На рис. 4.3 та 4.4 циклоїди, зображені жирними штриховими лініями, є супроводжуючими по відношенню до циклоїдів, зображеними жирними суцільними лініями.
З рис. 4.3 видно, що пряма ММ 1 є нормаллю у точці М 1 до супровідної циклоїди. Справді, ця пряма проходить через точку М 1 циклоїди і через точку Т торкання виробляючого кола і напрямної прямої («найнижчу» точку кола, що виробляє, як ми говорили колись; тепер вона виявилася «найвищою», тому що креслення повернутий). Але ця пряма, за побудовою, є дотичною до «основи» циклоїди АМВ. Таким чином, вихідна циклоїда стосується кожної нормалі супутньої циклоїди. Вона є огинаючої нормалей супроводжуючої циклоїди, тобто. її еволютою. А «супроводжувальна» циклоїда виявляється просто евольвентою вихідної циклоїди!
Займаючись цією громіздкою, але по суті простою побудовою, ми довели чудову теорему, відкриту голландським ученим Гюйгенсом. Ось ця теорема: еволютої циклоїди служить така сама циклоїда, тільки зрушена.
Побудувавши еволюту не до однієї арки, а до всієї циклоїди (що можна, зрозуміло, зробити тільки подумки), потім еволюту до цієї еволюти тощо, отримаємо рис. 4.5, що нагадує черепицю.
Звернемо увагу, що за доказі теореми Гюйгенса ми користувалися ні нескінченно малими, ні неподільними, ні приблизними оцінками. Навіть механікою ми користувалися, хоча вживали іноді запозичені з механіки висловлювання. Доказ це зовсім на кшталт тих міркувань, якими користувалися вчені XVII століття, коли хотіли суворо обґрунтувати результати, отримані з допомогою різноманітних міркувань.
З теореми Гюйгенса виходить одразу важливе слідство. Розглянемо відрізок АВ на рис. 4.4. Довжина цього відрізка дорівнює, очевидно, 4 a. Уявімо тепер, що у дугу АМВ циклоїди намотана нитка, закріплена у точці А й забезпечена олівцем у точці У. Якщо ми «змотувати» нитку, то олівець рухатиметься по розгортку циклоїди АМВ, тобто. за циклоїдом ВМ 1 В. Довжина нитки, що дорівнює довжині піварки циклоїди, буде, очевидно, дорівнює відрізку АВ, тобто, як ми бачили, 4 a. Отже, довжина L усієї арки циклоїди дорівнюватиме 8 a, та формулу L=8 aможна вважати тепер досить суворо доведеною.
Обчислимо довжину дуги з допомогою диференціальної геометрії. Рішення, отримане таким способом вийде набагато коротше і легше:
де t?
r(t)=
=
| r(t) |===2sin
5. ОБСЯГ ТІЛА, ОТРИМАНОГО ОБЕРТАННЯМ АРКИ ЦИКЛОЇДИ
Знайдемо обсяг тіла, породженого обертанням арки циклоїди навколо її основи. Роберваль знаходив його, розбивши отримане яйцеподібне тіло (рис. 5.1) на нескінченно тонкі шари, вписавши в ці шари циліндрики та склавши їх обсяги. Доказ вийшов довгий, стомлюючий і не цілком суворий. Тому для його обчислення звернемося до найвищої математики. Задамо рівняння циклоїди параметрично.
В інтегральному обчисленні щодо обсягів користується наступним зауваженням:
Якщо крива, що обмежує криволінійну трапецію задана параметричними рівняннями та функції в цих рівняннях задовольняють умовам теореми про заміну змінної у певному інтегралі, то об'єм тіла обертання трапеції навколо осі Ох буде обчислюватися за формулою:
Скористаємося цією формулою для знаходження потрібного нам обсягу.
Так само обчислимо і поверхню цього тіла.
L = ((x, y): x = a (t - sin t), y = a (1 - cost), 0? t? 2р)
В інтегральному обчисленні існує наступна формула для знаходження площі поверхні тіла обертання навколо осі х кривої, заданої на відрізку параметрично (t 0 t t 1):
Застосовуючи цю формулу для нашого рівняння циклоїди отримуємо:
Розглянемо також іншу поверхню, породжену обертанням арки циклоїдів. Для цього побудуємо дзеркальне відображення арки циклоїди щодо її основи, і овальну фігуру, утворену циклоїдою та її відображенням обертатимемо навколо осі KT (рис. 5.2)
Спочатку знайдемо обсяг тіла, утвореного обертанням арки циклоїдів навколо осі KT. Його обсяг будемо обчислювати за формулою (*):
Таким чином, ми порахували обсяг половини репоподібного тіла. Тоді весь обсяг буде дорівнювати
Для знаходження площі поверхні цього тіла обертання за допомогою інтеграла також необхідно розбити його навпіл по горизонталі і розглянути його верхню частину.
Значить площа поверхні отриманого тіла дорівнює
6. НАЙКРАЩИЙ МАЯТНИК
Спостерігаючи в храмі за люстрою, що гойдається, Галілей виявив, що час повного хитання люстри, тобто. час, після якого вона повернеться у вихідне положення (так званий період коливання), було однаково при великих розмахах і при малих. Це спостереження привело Галілея до думки, що тіло (маятник), що коливається, можна використовувати для регулювання ходу годин.
Самому Галілею здійснити годинник із маятником не вдалося, а незабаром з'ясувалося, що його спостереження були неточними. Точніші спостереження показали, що період коливання маятника тим більше, чим більший розмах; але завдяки неминучому тертю осі і опору повітря розмах коливань звичайного маятника постійно зменшується, отже, зменшуватиметься і його коливань. Годинник із звичайним маятником - інакше званим круговим маятником(Бо кожна точка його описує дугу кола), не можуть йти правильно.
Гюйгенс придумав, яке пристосування потрібно зробити круговому маятнику, щоб він мав постійний розмах. Але він вирішив і інше цікаве завдання - відповів на питання, за якою кривою має рухатися точка, щоб період її коливань не залежав від амплітуди. Він вигадав конструкцію, яка здійснила рух центру тяжкості маятника по цій кривій.
Почнемо з пристрою, що забезпечує правильний хід годинника з круговим маятником. Зубчасте колесо А(рис. 6.1) наводитися у обертання ланцюгом із гиркою Вна кінці. На вісь цього колеса насаджена шестерня, наглухо пов'язана з ним. Ця шестерня і приводить в рух стрілки годинника, а тому потрібно, щоб колесо А рухалося поступово.
Але гірка В, як і всяке тіло, під дією тяжкості буде рухатися прискорено, повідомляючи прискорене обертання колесу А. Усунути труднощі має маятник ММ.
Якір З, що лежить у площині колеса А, наглухо з'єднаний з маятником ММ, сам маятник ММлежить за площиною креслення і тому накреслено пунктиром. Якір забезпечений зубцями Ні До.
На момент, зображений на рис. 6.1, колесо Аутримується лівим зубцем Някоря З.Коли маятник хитне вліво, зубець Някоря відпустить захоплений зубець колеса, і колесо обернеться, але тільки на повзубця, бо зубець Доякоря потрапить у проміжок між зубцями колеса та затримає його. Коли після цього маятник знову хитне праворуч, зубець на цьому боці буде затриманий якорем. Отже, при кожному повному хитанні маятника (туди і назад) колесо повернеться на один зубець, тобто. на певну частку кола. Рух колеса буде рівномірним. Зубці якоря, як видно з рис. 6.1 зрізані навскіс, так що зубець колеса, який був затриманий якорем і знову відпущений, повинен ковзати по косій поверхні зубця якоря. Внаслідок цього якір повідомить маятнику невеликий поштовх. Ці ритмічні поштовхи заповнять втрату енергії, яку маятник витрачає на подолання тертя та опору повітря. Тому розмах маятника не зменшуватиметься. Таким чином, гиря повідомляє енергію і колесам годинника, і самому маятнику, - маятник же регулює хід годинника.
А якщо годинник зупиниться? Пустити в хід їх не важко: достатньо підняти гирю та хитнути маятник. Але при цьому розмах гойдання може виявитися іншим, і годинник піде хоч рівномірно, але неправильно (піде вперед або почне відставати). Гюйгенс придумав пристрій, який дозволяє легко регулювати хід годинника. Але Гюйгенса, як справжнього вченого, зацікавило питання: яким має бути «досконалий» маятник, маятник, час коливання якого залежить від величини розмаху? Розглянемо докладно, як Гюйгенс вирішив це питання.
Слово «таутохрон» означає «рівномірна». Так назвав Гюйгенс криву, що він почав розшукувати, тобто. таку криву, якою повинен рухатися центр тяжкості маятника, щоб період його гойдання не залежав від величини розмаху. Пошуки увінчалися успіхом: таємнича таутохрона виявилася незадовго перед тим вивченою циклоїдою. При цьому Гюйгенс виявив виняткову дотепність. Досить сказати, що вчення про еволюти було створено у процесі вирішення саме цього завдання.
Гюйгенс міркував так. Уявімо жолобок у формі циклоїди, як це зображено на рис. 6.2.
По цьому жолобку котиться важка кулька М. Ми розглянемо ідеальний випадок - той випадок, коли тертя і опір повітря відсутня.
Позначимо точки повернення циклоїди через М 0 та М? 0 , а радіус виробляючого кола через а. Накреслимо коло радіусу а, що стосується циклоїди у вершині (коло з центром Про) і виробляє коло у положенні, що відповідає точці Мциклоїди (даний штриховою лінією). Припустимо, що ми поклали кульку в крапку М 1 жолобка та відпустили його без поштовху. Під впливом тяжкості він покотиться вниз. Вивчимо його рух.
Якою буде швидкість кульки, коли вона опуститься до точки Мциклоїди? Це неважко порахувати. Опустившись із крапки М 1 у крапку М, кулька витратить кілька потенційної енергії. Ця втрата енергії дорівнює добутку ваги кульки mg(m -- маса кульки, g-- прискорення сили тяжкості) «втрату висоти», тобто. на різницю висоти кульки в положеннях М 1 та М,причому висомти відраховуються від певного рівня, наприклад, від рівня землі. Від якого рівня не відраховувати висомти, різниця їх у нашому випадку дорівнюватиме відрізку НМ. Отже, втрата потенційної енергії кульки буде рівна mg· HM.
Але в силу закону збереження енергії втрачена потенційна енергія кульки перетворитися на кінетичну енергію його руху, рівну, як відомо, якщо через позначити поки що невідому швидкість кульки. Прирівнюючи цю кінетичну енергію втраченою потенційною, отримаємо рівняння
з якого відразу знаходимо значення шуканої швидкості
Напрямок цієї швидкості теж визначити неважко. Вона буде спрямована щодо циклоїди, тобто. по хорді ML(рис. 6.2), де L- «найнижча» точка кола, що виробляє.
Нас цікавитиме не так сама швидкість, як її вертикальна проекція, тобто. "швидкість опускання кульки", швидкість зміни його висоти. Цю вертикальну проекцію легко вирахувати: вона дорівнює, де - кут між хордою MLта вертикаллю. Хорда АТкола з центром Про, очевидно, рівна і паралельна хорді ML, а тому кут LMPдорівнює куту KAT, що зазначено на рис. 6.2. Отже:
Нерівномірний рух по циклоїді порівнюватимемо з рівномірним рухом по колу. З цією метою побудуємо допоміжне коло так: через вершину Ациклоїди проводиться перпендикуляр AD(діаметр кола з центром Про), а через початкову точку М 1 руху кульки проводиться паралель М 1 до її основи. Нехай точка перетину цих паралелі та перпендикуляра буде позначена буквою В. Окружність, побудована на АВ, Як на діаметрі, і буде шуканим допоміжним колом. Поки незрозуміло, чим саме вона краща за інші кола.
Почнемо з того, що вертикальну складову швидкості руху кульки зв'яжемо з елементами допоміжного кола. Маємо:
тому що НМ = ВК.З трикутника АКТотримаємо:
Але АТ = 2а cos , а тому
Підставимо знайдене значення косинуса у вираз для МР, відмічене зірочкою (*). Отримаємо:
Останній корінь дорівнює середній пропорційній між відрізками ВКі АК, тобто. між відрізками гіпотенузи АВтрикутника АВС, на які остання поділяється заввишки СК. Але ця середня пропорційна, за відомою теореми про пропорційні лінії у прямокутному трикутнику, дорівнює саме висоті СК:
ВК·АК=СК 2 .
Тому для вертикальної складової МРшвидкості руху кульки по циклоїді отримаємо остаточно:
МР=· КС.
Величини a і g дано нам із самого початку і не пов'язані ні з точкою М,ні з її початковим становищем М 1 . Таким чином, рух кульки по циклоїді цілком визначається хордою КСдопоміжного кола, тобто. зрештою положенням точки Зна цьому колі.
Розглянемо рівномірний рух точки Зпо допоміжному колу з кутовою швидкістю радіанів за секунду, тобто. градусів за секунду. При цьому швидкість точки Зпо колу дорівнюватиме добутку радіуса кола на кутову швидкість, виражену в радіанах (за секунду), тобто. дорівнює
З якою швидкістю опускається точка З, з якою швидкістю змінюється її відстань від прямої М 0 М? 0 при рівномірному русі точки Зпо колу? Це неважко підрахувати.
Швидкість рух точки кола спрямовано щодо до кола, тобто. перпендикулярно до радіусу. Її проекція на вертикаль дорівнює самій швидкості помноженого на косинус кута рис 6.3. Але кут дорівнює, очевидно, куту КСВ 1: обидва виходять шляхом віднімання кута Про 1 РЄіз прямого кута. Косинус кута КСВ 1 дорівнює . Для вертикальної проекції швидкості рівномірного руху по колу знаходимо:
Виходить чудовий результат: коли точка рухається рівномірно по колу, її проекція на вертикаль рухається точно так, як проекція на вертикаль кульки, що котиться по циклоїді. Проекції обох швидкостей будь-якої миті часу рівні одне одному. Але звідси випливає, що точка кола з В в Аі кулька на циклоїді з М 1 в Априйдуть одночасно. Цей час легко визначити. Ми вже говорили, що точка на допоміжному колі робить радіанів секунду, іншими словами, на один радіан вона повернеться за секунду, а на радіанів - за. Такий самий час потрібний і нашій кульці, щоб скотитися по циклоїді з точки М 1 у крапку А. Такий самий час знадобиться йому, щоб за інерцією піднятися до крапки М? 1 , таке саме - щоб знову спуститися, і таке саме - щоб піднятися і повернутися у вихідне положення (у крапку М 1). Значить, час повного коливання кульки (період коливання) дорівнюватиме:
Це дуже чудова формула. Ми бачимо, що період руху кульки по циклоїдальному жолобку цілком визначається розмірами жолобка (радіусом кола циклоїди, що виробляє) і прискоренням сили тяжіння. Положення точки М 1 на циклоїді, її відстань від прямої М 0 М? 0 не має жодного значення. З якої точки циклоїди не починала руху кулька, період його коливання буде один і той же.
Гюйгенс замислився над тим, як використовувати таутохронну властивість циклоїди для влаштування «досконалого» маятника. Як змусити кульку маятника рухатися таутохронно, не вдаючись до жолобків тощо пристосувань з великим тертям? Розмірковуючи про це, Гюйгенс дійшов понять про еволют і евольвента.
Виготовимо шаблон, що складається з двох однакових піварок циклоїди, що мають загальну точку повернення Про(Рис. 6.4). Радіус виробляючого кола позначимо, як завжди, через a. Шаблон зміцнимо вертикально, і у точці повернення Проприв'яжемо нитку, по довжині рівну 4 a- тобто. подвоєного діаметру виробляє кола циклоїди. Вільний конецніті Тзабезпечимо важким кулькою.
Кулька описуватиме при своєму русі розгортку циклоїди АСОЄВ, тому що нитка буде намотуватися на шаблон. Але розгорткою циклоїди служить така сама циклоїда. Значить, крива ВМТРА, по якій рухається кулька, буде циклоїдою, породженою кругом радіусу a.
Якщо ми помістимо кульку у довільну точку Мі надамо самому собі, він почне робити коливання, причому період цих коливань не залежатиме від вибору точки М. Якщо навіть під впливом тертя і опору повітря розмах коливань буде зменшуватися, час коливання маятника залишається незмінним. Воістину, цей маятник буде таутохронним!
Розглянемо тепер малі коливання маятника за дугою АВциклоїди (рис. 6.5). Якщо ці коливання дуже малі, то вплив напрямного шаблону практичний не відчуватиметься і маятник рухатиметься майже як звичайний маятник довгою l=4a, підвішений у точці Про. Шлях АВциклоїдального маятника практично не відрізнятиметься від шляху РЄкругового маятника довжини 4 a. Отже, і період малих коливань звичайного кругового маятника завдовжки l=4a не практично відрізнятиметься від періоду циклоїдального маятника. Вводячи у формулу
з якою ми познайомилися вище, замість aрівну йому величину, отримаємо вираз періоду малих коливань кругового маятника через його довжину:
ВИСНОВОК
У процесі виконання курсової роботи я вивчила матеріали на тему циклоїду, вивчила особливості найкращого маятника, порівняла досить витончене, але не дуже просте дослідження циклоїди до появи інтегрального обчислення, з найбільш простим і звичним, вивченим у диференціальній геометрії та математичному аналізі; вкотре переконавшись у необхідності вивчення цих дисциплін. Як виявилося, циклоїда має величезне практичне застосування у математиці, а й у технологічних розрахунках, у фізиці.
Робота з вивчення цієї теми виявилася досить цікавою та цікавою.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Берман Г.М. Циклоїду. -М., 2007. -113с.
2. Савелов А.А. Плоскі криві. – М., 1960. – 293 с.
3. Фіхтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу. -М., 2005, т.2. -464 с.
Розміщено на Allbest.ru
...Подібні документи
коротка історіявивчення циклоїдів. Геометричне визначення, властивості та особливості побудови циклоїди. Параметричне рівняння циклоїди та рівняння в декартових координатах. Завдання на знаходження частин циклоїди та фігур, утворених циклоїдою.
курсова робота , доданий 16.01.2011
Моменти та центри мас плоских кривих. Теорема Гульден. Площа поверхні, утвореної обертанням дуги плоскою кривою навколо осі, що лежить у площині дуги та її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги на довжину кола.
лекція, доданий 04.09.2003
Визначення певного інтеграла, його характеристики. Довжина дуги крива. Площа криволінійної трапеції. Площа поверхні обертання. Площа фігур, обмежених графіками функцій, обмежених лініями, заданими рівняннями. Обчислення обсягів тел.
контрольна робота , доданий 10.02.2017
Певний інтеграл - адитивний монотонний нормований функціонал, заданий на безлічі пар, його компоненти, властивості. Обчислення певного інтегралу; формула Ньютона-Лейбніца. Геометричні застосування: площа, довжина дуги, об'єм тіла обертання.
презентація , доданий 30.05.2013
Пошук площі фігури, що обмежена графіками функцій за допомогою подвійного інтеграла. Одержання обертанням об'єму тіла навколо осі ОХ фігури, обмеженої зазначеними лініями. Межі інтегрування в подвійному інтегралі області, обмеженою лініями.
контрольна робота , доданий 28.03.2014
Чудові лінії 3-го порядку: Декартов лист, цисоїда Діоклеса, строфріда, верзьєра Аньезі. Лінії четвертого та вищих порядків та деякі трансцендентні лінії: спіраль Архімеда, крива найкоротшого спуску. Площа області обмеженою лемніскатою.
курсова робота , доданий 07.08.2015
Поняття певного інтеграла, розрахунок площі, обсягу тіла та довжини дуги, статичного моменту та центру тяжкості кривої. Обчислення площі у разі прямокутної криволінійної області. Застосування криволінійного, поверхневого та потрійного інтегралів.
курсова робота , доданий 19.05.2011
Похідна певного інтеграла за змінною верхньою межею. Обчислення певного інтеграла як межі інтегральної суми за формулою Ньютона-Лейбніца, заміна змінної та інтегрування частинами. Довжина дуги у полярній системі координат.
контрольна робота , доданий 22.08.2009
Історія інтегрального та диференціального обчислення. Програми певного інтеграла до вирішення деяких завдань механіки та фізики. Моменти та центри мас плоских кривих, теорема Гульдена. Диференційне рівняння. Приклади розв'язання задач у MatLab.
реферат, доданий 07.09.2009
Криволінійний інтеграл першого та другого роду. Площа області, обмежена замкненою кривою. Об'єм тіла, утвореного обертанням замкнутої кривої. Центр мас та моменти інерції кривої. Магнітне поле навколо провідника зі струмом. Сутність закону Фарадея.
