основна ціль

Ознайомити учнів із властивостями ступенів із натуральними показниками та навчити виконувати дії зі ступенями.

Тема " Ступінь та її властивості "включає три питання:

• Визначення ступеня із натуральним показником.
• Розмноження та розподіл ступенів.
• Зведення у ступінь твору та ступеня.

Контрольні питання

1. Сформулюйте визначення ступеня з натуральним показником, великим 1. Наведіть приклад.
2. Сформулюйте визначення ступеня із показником 1. Наведіть приклад.
3. Яким є порядок виконання дій при обчисленні значення виразу, що містить ступеня?
4. Сформулюйте основну властивість ступеня. Наведіть приклад.
5. Сформулюйте правило множення ступенів із однаковими основами. Наведіть приклад.
6. Сформулюйте правило розподілу ступенів з однаковими основами. Наведіть приклад.
7. Сформулюйте правило зведення ступінь твору. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (ab) n = a n b n .
8. Сформулюйте правило зведення ступеня до ступеня. Наведіть приклад. Доведіть тотожність (а m) n = m n .

Визначення ступеня.

Ступенем числа aз натуральним показником n, Великим 1, називається добуток n множників, кожен з яких дорівнює а. Ступенем числа аз показником 1 називається саме число а.

Ступінь з основою ата показником nзаписується так: а n. Читається “ ау ступені n”; У n- я ступінь числа а ”.

За визначенням ступеня:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Знаходження значення ступеня називають зведенням у ступінь .

1. Приклади зведення у ступінь:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Знайти значення виразів:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Варіант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Розмноження ступенів.

Для будь-якого числа а та довільних чисел m і n виконується:

a m a n = a m + n.

Доказ:

Правило : При множенні степенів з однаковими основами основи залишають колишнім, а показники степенів складають.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Варіант 1

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 і) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Розподіл ступенів.

Для будь-якого числа а0 та довільних натуральних чисел m і n, таких, що m>n виконується:

a m: a n = a m - n

Доказ:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

за визначенням приватного:

a m: a n = a m - n.

Правило: При розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишнім, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

Визначення: Ступінь числа а, не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці:

т.к. а n: a n = 1 при а0.

а) х 4: х 2 = х 4 - 2 = х 2

б) у 8: у 3 = у 8 - 3 = у 5

в) а 7: а = а 7: а 1 = а 7 - 1 = а 6

г) з 5: з 0 = з 5: 1 = з 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Варіант 1

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Зведення у ступінь твору.

Для будь-яких а та b і довільного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доказ:

За визначенням ступеня

(ab) n =

Згрупувавши окремо множники а та множники b, отримаємо:

=

Доведена властивість ступеня твору поширюється на ступінь твору трьох та більше множників.

Наприклад:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило: При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь кожен множник і результат перемножують

1. Звести до ступеня:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 = 2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Знайти значення виразу:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

б) (2 а з) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Знайти значення виразу:

б) (5 7 20) 2

Зведення у ступінь ступеня.

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n:

(а m) n = а m n

Доказ:

За визначенням ступеня

(а m) n =

Правило: При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.

1. Звести до ступеня:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Спростіть вирази:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у 7) 3 = (у 8) 3 = 24

а)

б)

Варіант 1

1. Звести до ступеня:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Спростіть вирази:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у 9) 2

3. Знайдіть значення виразів:

додаток

Визначення ступеня.

Варіант 2

1ю Запишіть твір у вигляді:

а) 04 04 04

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Варіант 3

1. Запишіть твір як:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Подайте у вигляді квадрата числа: 100; 0,49; .

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Варіант 4

1. Запишіть твір як:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Подайте у вигляді квадрата числа:

3. Подайте у вигляді куба числа:

4. Знайти значення виразів:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Розмноження ступенів.

Варіант 2

1. Подати у вигляді ступеня:

а) х 4 х 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 і) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Варіант 3

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у 8 і) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Варіант 4

1. Подати у вигляді ступеня:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 і) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Подати у вигляді ступеня та знайти значення за таблицею:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Розподіл ступенів.

Варіант 2

1. Подайте у вигляді ступеня приватне:

2. Знайдіть значення виразів:

Звертаємо вашу увагу, що в цьому розділі розуміється поняття ступеня лише з натуральним показникомі нулем.

Поняття та властивості ступенів з раціональними показниками (з негативним та дробовим) будуть розглянуті в уроках для 8 класу.

Отже, розберемося, що таке рівень числа.Для запису твору числа самого він кілька разів застосовують скорочене позначення.

Замість добутку шести однакових множників 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишуть 4 6 і вимовляють «чотири шостою мірою».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Вираз 4 6 називають ступенем числа, де:

• 4 — підстава ступеня;
• 6 — показник ступеня.

У загальному вигляді ступінь із основою «a» та показником «n» записується за допомогою виразу:

Запам'ятайте!

Ступенем числа «a» з натуральним показником «n», більшим 1, називається добуток «n» однакових множників, кожен з яких дорівнює числу «a».

Запис «a n» читається так: «а в ступені n» або «n-а ступінь числа a».

Виняток становлять записи:

• a 2 - її можна вимовляти як "а в квадраті";
• a 3 - її можна вимовляти як "а в кубі".

• a 2 - "а в другому ступені";
• a 3 - "а в третьому ступені".

Особливі випадки виникають, якщо показник ступеня дорівнює одиниці або нулю (n = 1; n = 0).

Запам'ятайте!

Ступенем числа «а» з показником n = 1 є саме це число:
a 1 = a

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.
a 0 = 1

Нуль у будь-якому натуральному ступені дорівнює нулю.
0 n = 0

Одиниця будь-якою мірою дорівнює 1.
1 n = 1

Вираз 0 0 ( нуль у нульовому ступені) вважають позбавленим сенсу.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

При вирішенні прикладів слід пам'ятати, що зведенням у ступінь називається знаходження числового або літерного значення після його зведення у ступінь.

приклад. Піднести до степеня.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Зведення до ступеня негативного числа

Підстава ступеня (число, яке зводять у ступінь), може бути будь-яким числом — позитивним, негативним або нулем.

Запам'ятайте!

При зведенні до ступеня позитивного числа виходить позитивне число.

При зведенні нуля у натуральний ступінь виходить нуль.

При зведенні в ступінь негативного числа в результаті може вийти як позитивне, так і негативне число. Це залежить від того, що парним або непарним числом був показник ступеня.

Розглянемо приклади зведення у міру негативних чисел.

З розглянутих прикладів видно, що й від'ємне число зводиться в непарну ступінь, виходить негативне число. Оскільки добуток непарного кількість негативних співмножників негативно.

Якщо ж негативне число зводиться на парний ступінь, то виходить позитивне число. Оскільки добуток парного кількість негативних співмножників позитивно.

Запам'ятайте!

Негативне число, зведене на парний ступінь, є позитивне .

Негативне число, зведене в непарну міру, — число негативне .

Квадрат будь-якого числа є позитивним чи нуль, тобто:

a 2 ≥ 0 за будь-якого a .

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Зверніть увагу!

При вирішенні прикладів на зведення в ступінь часто роблять помилки, забуваючи, що записи (-5) 4 і -5 4 це різні вирази. Результати зведення в рівень даних виразів будуть різні.

Обчислити (−5) 4 означає визначити значення четвертого ступеня негативного числа.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

У той час як знайти «−5 4 » означає, що приклад потрібно вирішувати на 2 дії:

1. Звести до четвертого ступеня позитивне число 5 .
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставити перед отриманим результатом знак «мінус» (тобто виконати дію віднімання).
   −5 4 = −625

приклад. Обчислити: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок дій у прикладах зі ступенями

Обчислення значення називається дією зведення ступінь. Це дія третього ступеня.

Запам'ятайте!

У виразах зі ступенями, що не містять дужки, спочатку виконують введення в ступінь, потім множення та розподіл, а наприкінці додавання та віднімання.

Якщо у виразі є дужки, то спочатку у зазначеному вище порядку виконують дії в дужках, а потім дії, що залишилися, в тому ж порядку зліва направо.

приклад. Обчислити:

Для полегшення вирішення прикладів корисно знати та користуватися таблицею ступенів, яку ви можете безкоштовно завантажити на нашому сайті.

Для перевірки своїх результатів ви можете скористатись на нашому сайті калькулятором «

Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.

Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8 .

Взагалі зведення у ступінь часто використовується у різних формулах з математики та фізики. Ця функція має більш наукове призначення, ніж чотири основні: Додавання, Віднімання, Множення, Поділ.

Зведення числа до ступеня

Зведення числа до ступеня – операція не складна. Воно пов'язане з множенням подібно до зв'язку множення і додавання. Запис an – короткий запис n-ого кількість чисел «а» помножених друг на друга.

Розглянь будівництво на найпростіших прикладах, переходячи до складних.

Наприклад, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Чотири в квадраті (у другому ступені) одно шістнадцяти. Якщо вам не зрозуміло множення 4*4, то читайте нашу стати про множення.

Розглянемо ще один приклад: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . П'ять у кубі (у третьому ступені) дорівнює ста двадцяти п'яти.

Ще один приклад: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Дев'ять у кубі дорівнює семи сотням двадцяти дев'яти.

Формули зведення у ступінь

Щоб грамотно зводити в ступінь, потрібно пам'ятати і знати формули, вказані нижче. У цьому немає нічого понад природне, головне зрозуміти суть і тоді вони не тільки запам'ятаються, а й видадуться легкими.

Зведення одночлена в ступінь

Що являє собою одночлен? Це твір чисел та змінних у будь-якій кількості. Наприклад, двох – одночлен. І саме про зведення в ступінь таких одночленів дана стаття.

Користуючись формулами зведення в міру обчислити зведення одночлена в міру буде не важко.

Наприклад, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Якщо зводити одночлен у ступінь, то ступінь зводиться кожна складова одночлена.

Зводячи в ступінь змінну вже має ступінь, ступеня перемножуються. Наприклад, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Зведення у негативний ступінь

Негативний ступінь – зворотне число. Що таке зворотне число? Будь-якому числу Х зворотним буде 1/X. Тобто Х-1 = 1/X. Це і є суть негативного ступеня.

Розглянемо приклад (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Чому так? Так як у ступеня є мінус, то просто переносимо в знаменник цей вираз, а потім зводимо до його в третій ступінь. Чи не так?

Зведення в дробовий ступінь

Почнемо розгляд питання на конкретному прикладі. 43/2. Що означає рівень 3/2? 3 – чисельник, означає зведення числа (у разі 4) в куб. Число 2 - знаменник, це витяг кореня другого ступеня з числа (в даному випадку 4).

Тоді отримуємо квадратний корінь із 43 = 2^3 = 8 . Відповідь: 8.

Отже, знаменник дробового ступеня може бути, як 3, так і 4 і до нескінченності будь-яким числом і це визначає ступінь квадратного кореня, що витягується з заданого числа. Звичайно ж, знаменник не може дорівнювати нулю.

Зведення кореня до ступеня

Якщо корінь зводиться у ступінь, що дорівнює ступеню самого кореня, то відповіддю буде підкорене вираз. Наприклад, (√х)2 = х. І так у будь-якому разі рівності ступеня кореня та ступеня зведення кореня.

Якщо (√x)^4. То (√ x) ^ 4 = x ^ 2. Щоб перевірити рішення переведемо вираз у вираз із дробовим ступенем. Оскільки корінь квадратний, то знаменник дорівнює 2. Якщо корінь зводиться в четверту ступінь, то чисельник 4. Отримуємо 4/2=2. Відповідь: x = 2.

В будь-якому випадку кращий варіантпросто перевести вираз у вираз із дробовим ступенем. Якщо не скорочуватиметься дріб, значить така відповідь і буде, за умови, що корінь із заданого числа не виділяється.

Зведення до ступеня комплексного числа

Що таке комплексне число? Комплексне число - вираз, що має формулу a + b * i; a, b – дійсні числа. i – число, яке за зведення в квадрат дає число -1.

Розглянемо приклад. (2 + 3i) ^2.

(2 + 3i) ^ 2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 = 4 +12i ^-9 = -5 +12i.

Запишіться на курс "Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика", щоб навчитися швидко та правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа у квадрат і навіть добувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади та корисні завдання.

Зведення в ступінь онлайн

За допомогою нашого калькулятора Ви зможете порахувати зведення числа в ступінь:

Зведення до ступеня 7 клас

Зведення у ступінь починають проходити школярі лише у сьомому класі.

Зведення в ступінь - операція, тісно пов'язана з множенням, це операція - результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * ... * an = an.

Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8.

Приклади для вирішення:

Зведення у ступінь презентація

Презентація по зведенню на ступінь, розраховану на семикласників. Презентація може пояснити деякі незрозумілі моменти, але, мабуть, таких моментів не буде завдяки нашій статті.

Підсумок

Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще – записуйтесь на наш курс: Прискорюємо усний рахунок – НЕ ментальна арифметика.

З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, складання, множення, поділу, обчислення відсотків, а й відпрацюєте їх у спеціальних завданнях та розвиваючих іграх! Усний рахунок також вимагає багато уваги та концентрації, які активно тренуються під час вирішення цікавих завдань.

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення до ступеня»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r та зведення числа a у ступінь r – це одне й те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа в натуральний ступінь

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дробовий ступінь m/n спочатку витягується корінь n-го ступеня з числа a після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо розв'язання прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи вирішення.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником і на підставі властивостей коріння справедливі рівність . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення у ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні міри є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного сенсу: маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дрібному позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу зазначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ірраціональний ступінь вручну потребує великої кількості громіздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисахсутність дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це і є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точне десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим більше точне значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти більш точне десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо більш точне значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Нагадуємо, що в даному уроці розуміються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість №1
Твір ступенів

Запам'ятайте!

При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n = a m + n , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Ця властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

• Спростити вираз.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Подати у вигляді ступеня.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Подати у вигляді ступеня.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важливо!

Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося лише про множення ступенів однаковими підставами . Воно не відноситься до їхнього складання.

Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243

Властивість №2
Приватне ступенів

Запам'ятайте!

При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, та якщо з показника ступеня поділеного віднімають показник ступеня дільника.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

приклад. Розв'язати рівняння. Використовуємо властивість приватного ступеня.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Відповідь: t = 3 4 = 81

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.

• приклад. Спростити вираз.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важливо!

  Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про розподіл степенів з однаковими основами.

  Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

  Будьте уважні!

  Властивість №3
  Зведення ступеня до ступеня

  Запам'ятайте!

  При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

  (a n) m = a n · m, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

  
  

  Властивості 4
  Ступінь твору

  Запам'ятайте!

  При зведенні у ступінь твору кожен із множників зводиться у ступінь. Потім одержані результати перемножуються.

  (a · b) n = a n · b n, де "a", "b" - будь-які раціональні числа; "n" - будь-яке натуральне число.

  • приклад 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • приклад 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важливо!

  Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують у зворотному порядку.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Тобто, щоб перемножити ступеня з однаковими показниками, можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.

  • приклад. Обчислити.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • приклад. Обчислити.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  У більш складних прикладах можуть зустрітися випадки, коли множення та розподіл треба виконати над ступенями з різними основами та різними показниками. У цьому випадку радимо чинити так.

  Наприклад, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Приклад зведення у ступінь десяткового дробу.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Властивості 5
  Ступінь приватного (дробу)

  Запам'ятайте!

  Щоб звести в ступінь приватне, можна звести в цей ступінь окремо ділене і дільник і перший результат розділити на другий.

  (a: b) n = a n: b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.

  • приклад. Подати вираз у вигляді приватного ступенів.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Нагадуємо, що приватне можна у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу в міру ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.