У цифрових пристроях доводиться мати справу з різними видами інформації. Це в чистому вигляді двійкова інформація, така як увімкнений прилад або вимкнений, справний пристрій чи ні. Інформація може бути представлена ​​у вигляді текстів, і тоді доводиться букви алфавіту кодувати за допомогою бінарних рівнів сигналу. Досить часто інформація може являти собою числа. Числа можуть бути представлені в різних системах числення. Форма записи у яких чисел істотно різниться між собою, тому, як перейти до особливостям представлення чисел в цифровий техніці, розглянемо їх запис різних системах числення.

Системи числення

Почнемо з визначення системи числення. Система числення – це сукупність правил запису чисел цифровими знаками. Системи числення бувають позиційні та непозиційні. Нині й у техніці й у побуті широко використовуються як позиційні, і непозиційні системи числення. Розглянемо спочатку приклади непозиційних систем числення.

Як класичний приклад непозиційної системи числення зазвичай наводять римську форму запису чисел. Проте це не єдина непозиційна система числення, яка використовується в даний час.

Зараз, як і в давнину, для запису числа використовуються так звані “палички”. Ця форма запису чисел найбільш зрозуміла і вимагає для запису числа лише один символ. Число утворюється сумою цих “паличок”. Проте за запису великих чисел виникають незручності. Число виходить громіздким і його важко читати.

У наступному варіанті непозиційної системи числення почали використовувати кілька символів (цифр). Кожна цифра позначає різну кількість одиниць. Кінцеве число так само як і в попередньому варіанті утворюється сумою цифр. Найбільш яскравий варіант використання такої системи числення – це грошові відносини. Ми з ними зіштовхуємось щодня. Тут нікому не спадає на думку, що сума, яку ми викладаємо за продукти, може залежати від того, в якому порядку ми розташуємо монети на столі! Номінал монети чи банкноти не залежить від того, в якому порядку вона була вийнята з гаманця. Це класичний приклад непозиційної системи числення.

Проте чим більше потрібно подати в такій системі числення, тим більша кількість цифр потрібна для цього. Позиційні системи числення були придумані нещодавно для того, щоб заощадити кількість цифр, що використовується для запису чисел.

Значення цифри у позиційній системі числення залежить від її позиції у записуваному числі. У позиційній системі числення з'являються два дуже важливі поняття - основа системи числення та вага цифри. Справа в тому, що в позиційній системі числення число подається у вигляді формули розкладання:

A p =a n p n +a n-1 p n-1 +...+a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +... +a -k p -k

де p - основа системи числення
p i - вага одиниці даного розряду
a i - цифри, дозволені у цій системі числення.

При цьому кількість цифр у системі числення залежить від основи. Кількість цифр дорівнює основі системи числення. У двійковій системі числення дві цифри, у десятковій – десять, а у шістнадцятковій – шістнадцять. Число в будь-якій позиційній системі числення записуються у вигляді послідовності цифр:

A = n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 ,a -1 a -2 ...a -k ,

де ai – цифри даної системи числення, а цифра, що відповідає одиницям, визначається за становищем десяткової коми (або десяткової точки в англомовних країнах). Кожна цифра, яка використана в записі числа, називається розрядом.

Які ж системи числення застосовуються нині? Перша відповідь, на яку я очікую – це десяткова система числення. А ще? Так, так не дивуйтесь! Ми широко використовуємо та інші системи числення! Достатньо подивитися собі на ліву руку. Там ми побачимо годинник. Скільки хвилин міститься за годину? Шістдесят! Скільки секунд міститься за хвилину? Шістдесят! Наявні ознаки шістдесяткової системи числення. Це успадкування давньої вавілонської системи числення, яку разом із компасом та годинником європейці запозичували від арабів.

А ще приклади? Та скільки завгодно! Картопля компаса ділиться на вісім румбів. Чим не вісімкова система числення? А чи давно у Росії відмовилися від півшок (чверть копійки) чи грошей (половина копійки)? А таке значення монети – дві копійки! Чим не двійкова система числення?

Розглянемо докладніше системи числення, що найчастіше використовуються в цифровій техніці.

Десяткова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює десяти. У цій системі числення використовується десять цифр. В даний час для позначення цих цифр використовуються символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятковій системі числення записується як сума одиниць, десятків, сотень, тисяч і так далі. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться удесятеро. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися як десяті, соті чи тисячні частки одиниці.

Розглянемо приклад. Для того щоб показати, що в прикладі використовується саме десяткова система числення, використовуємо індекс 10. Якщо ж крім десяткової форми запису чисел не передбачається використання жодної іншої, індекс зазвичай не використовується:

A 10 = 247,56 10 = 2 * 10 2 +4 * 10 1 +7 * 10 0 +5 * 10 -1 +6 * 10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0,5 10 +0 ,06 10

Тут найстарший розряд числа називатиметься сотнями. У наведеному прикладі сотням відповідає цифра 2. Наступний розряд називатиметься десятками. У наведеному прикладі десяткам відповідає цифра 4. Наступний розряд називатиметься одиницями. У наведеному прикладі одиницям відповідає цифра 7. Десятим часткам відповідає цифра 5, а сотим – 6.

Двійкова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює двом. У цій системі числення використовується дві цифри. Щоб не вигадувати нових символів для позначення цифр, у двійковій системі числення були використані символи десяткових цифр 0 і 1. Щоб не сплутати систему числення в записі числа використовується індекс 2. Якщо ж крім двійкової форми запису чисел не передбачається використання жодної іншої, то цей індекс можна опустити.

Число в цій системі числення записується як сума одиниць, двійок, четвірок, вісімок і таке інше. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться вдвічі. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися половини, чверті або восьмі частки одиниці.

Розглянемо приклад запису двійкового числа:

A 2 =101110,101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1 * 2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 = 46,625 10

При запису в другому рядку прикладу десяткових еквівалентів двійкових розрядів ми не стали записувати ступеня двійки, які множаться на нуль, оскільки це призвело б тільки до захаращення формули і, як наслідок, утруднення розуміння матеріалу.

Недоліком двійкової системи числення можна вважати велику кількість розрядів, які потрібні для запису чисел. Як перевага цієї системи числення можна назвати простоту виконання арифметичних дій, які будуть розглянуті пізніше.

Вісімкова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює восьми. Восьмеричну систему числення можна розглядати як більш короткий варіант запису двійкових чисел, тому що число вісім є ступенем два числа. У цій системі числення використовується вісім цифр. Щоб не вигадувати нових символів для позначення цифр, у восьмеричній системі числення були використані символи десяткових цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Для того щоб не сплутати систему числення в записі числа використовується індекс 8. Якщо ж Крім вісімкової форми запису чисел не передбачається використання жодної іншої, цей індекс можна опустити.

Число в цій системі числення записується як сума одиниць, вісімок, шістдесят четвірок і таке інше. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться у вісім разів. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися як восьмі, шістдесят четверті і так далі частини одиниці.

Розглянемо приклад запису восьмеричного числа:

A 8 = 125,46 8 = 1 * 8 2 +2 * 8 1 +5 * 8 0 +4 * 8 -1 +6 * 8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 / 64 10 = 85,59375 10

У другому рядку наведеного прикладу фактично здійснено переведення числа, записаного у вісімковій формі в десяткове подання того самого числа. Тобто ми фактично розглянули один із способів перетворення чисел із однієї форми подання на іншу.

Так як у формулі використовуються прості дроби, то можливий варіант, що точний переклад однієї форми подання в іншу стає неможливим. І тут обмежуються заданою кількістю дробових розрядів.

Шістнадцяткова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює шістнадцяти. Цю систему числення вважатимуться ще одним варіантом запису двійкового числа. У цій системі числення використовується шістнадцять цифр. Тут уже не вистачає десяти цифр, тому доводиться придумати цифри, що бракують, шість цифр.

Для позначення цих цифр можна скористатися першими літерами латинського алфавіту. При записі шістнадцяткового числа літери верхнього або нижнього регістру будуть використовуватися як цифри. Як цифри у шістнадцятковій системі використовуються символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Оскільки тут з'являються нові цифри, наведемо таблицю відповідності цих цифр десятковим значенням.

Таблиця 6.Таблиця відповідності шістнадцяткових цифр десятковим значенням

Число в цій системі числення записується як сума одиниць, чисел шістнадцять, двісті п'ятдесят шість і таке інше. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться у шістнадцять разів. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися як шістнадцяті, двісті п'ятдесят шости і так далі частини одиниці.

Розглянемо приклад запису шістнадцяткового числа:

A 16 = 2AF, C4 16 = 2 * 16 2 +10 * 16 1 +15 * 16 0 +12 * 16 -1 +4 * 16 -2 = 512 10 +160 10 +15 10 +12 10 /16 10 + 4 10 / 254 10 = 687,765 625 10

З наведених прикладів запису чисел у різних системах числення цілком очевидно, що з записи однієї й тієї числа з однаковою точністю у різних системах числення потрібно різну кількість розрядів. Чим більша основа системи числення, тим менша кількість розрядів потрібна для запису того самого числа.

Література:

Разом із статтею "Системи числення" читають:

Відомо безліч способів представлення чисел. У будь-якому випадку, число зображується символом або групою символів (словом) деякого алфавіту. Такі символи називаються цифрами.

Системи числення

Для представлення чисел використовуються непозиційні та позиційні системи числення.

Непозиційні системи числення

Як тільки люди почали рахувати, у них з'явилася потреба в записі чисел. Знахідки археологів на стоянках первісних людей свідчать, що спочатку кількість предметів відображали рівною кількістю будь-яких значків (бірок): зарубок, рис, точок. Пізніше для полегшення рахунку ці значки почали групувати по три або по п'ять. Така система запису чисел називається одиничної (унарної), оскільки будь-яке число у ній утворюється шляхом повторення одного знака, що символізує одиницю. Відлуння одиничної системи числення зустрічаються і сьогодні. Так, щоб дізнатися, на якому курсі навчається курсант військового училища, потрібно порахувати, скільки смужок нашито на його рукаві. Самі того не усвідомлюючи, одиничною системою числення користуються малюки, показуючи на пальцях свій вік, а лічильні палички використовується для навчання учнів 1-го класу рахунку. Розглянемо різні системи числення.

Поодинока система – не найзручніший спосіб запису чисел. Записувати таким чином великі кількості стомлюючи, та й самі записи при цьому виходять дуже довгими. З часом виникли інші, зручніші, системи числення.

Давньоєгипетська десяткова непозиційна система числення. Приблизно третьому тисячолітті до нашої ери древні єгиптяни придумали свою числову систему, у якій позначення ключових чисел 1, 10, 100 тощо. використовувалися спеціальні значки – ієрогліфи. Решта числа складалися з цих ключових з допомогою операції складання. Система числення Стародавнього Єгипту є десятковою, але непозиційною. У непозиційних системах числення кількісний еквівалент кожної цифри не залежить від її положення (місця, позиції) у записі числа. Наприклад, щоб зобразити 3252 малювали три квітки лотоса (три тисячі), два згорнутих пальмових листи (дві сотні), п'ять дуг (п'ять десятків) та дві жердини (дві одиниці). Величина числа не залежала від того, в якому порядку розташовувалися його знаки: їх можна було записувати зверху вниз, праворуч наліво або впереміж.

Римська система числення. Прикладом непозиційної системи, яка збереглася донині, може бути система числення, яка застосовувалася понад дві з половиною тисячі років тому у Стародавньому Римі. В основі римської системи числення лежали знаки I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а для позначення чисел 100, 500 та 1000 стали застосовувати перші літери відповідних латинських слів (Сentum – сто, Demimille – половина тисячі, Мille – тисяча). Щоб записати число, римляни розкладали його на суму тисяч, півтисячі, сотні, півсотні, десятки, п'яти, одиниці. Наприклад, десяткове число 28 представляється так:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятки, п'ят, три одиниці).

Для запису проміжних чисел римляни використовували як додавання, а й віднімання. При цьому застосовувалося таке правило: кожен менший знак, поставлений праворуч від більшого, додається до його значення, а кожен менший знак, поставлений ліворуч від більшого, віднімається від нього. Наприклад, IX – означає 9, XI – означає 11.

Десяткове число 99 має таке уявлення:

XCIХ = -10 +100-1 +10.

Римські цифри користувалися дуже довго. Ще 200 років тому у ділових паперах числа мали позначатися римськими цифрами (вважалося, що звичайні арабські цифри легко підробити). Римська система числення сьогодні використовується в основному для найменування знаменних дат, томів, розділів та розділів у книгах.

Алфавітні системи числення. Найдосконалішими непозиційними системами числення були алфавітні системи. До таких систем числення належали грецька, слов'янська, фінікійська та інші. Вони числа від 1 до 9, цілі кількості десятків (від 10 до 90) і цілі кількості сотень (від 100 до 900) позначалися літерами алфавіту. У алфавітній системі числення Стародавню Грецію числа 1, 2, ..., 9 позначалися першими дев'ятьма літерами грецького алфавіту, тощо. Для позначення чисел 10, 20, ..., 90 застосовувалися наступні 9 літер а позначення чисел 100, 200, ..., 900 – останні 9 букв.

У слов'янських народів числові значення букв встановилися як слов'янського алфавіту, який використовував спочатку глаголицю, та був кирилицю.

У Росії її слов'янська нумерація збереглася остаточно XVII століття. За Петра I взяла гору так звана арабська нумерація, якою ми користуємося і зараз. Слов'янська нумерація збереглася лише у богослужбових книгах.

Непозиційні системи числення мають низку істотних недоліків:

• Існує постійна потреба запровадження нових знаків для запису великих чисел.

• Неможливо представляти дробові та негативні числа.

• Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання.

Позиційні системи числення

У позиційних системах числення – кількісний еквівалент кожної цифри залежить від її положення (позиції) у коді (запису) числа. Нині ми звикли користуватися десятковою позиційною системою – числа записуються за допомогою 10 цифр. Найправіша цифра позначає одиниці, ліворуч - десятки, ще ліворуч - сотні і т.д.

Наприклад: 1) шістдесяткова (Давній Вавилон) - перша позиційна система числення. Досі при вимірі часу використовується основа рівна 60 (1хв = 60с, 1ч = 60хв); 2) дванадцяткова система числення (широке поширення набула у ХІХ ст. число 12 – “дюжина”: на добу дві дюжини годин). Рахунок не на пальцях, а на суглобах пальців. На кожному пальці руки, крім великого, по 3 суглоби – всього 12; 3) в даний час найбільш поширеними позиційними системами числення є десяткова, двійкова, вісімкова і шістнадцяткова (широко використовується в низькорівневому програмуванні і взагалі в комп'ютерній документації, оскільки в сучасних комп'ютерах мінімальною одиницею пам'яті є 8-бітний байт, значення якого зручно записувати двома шістнадцятковими ).

У будь-якій позиційній системі число може бути представлене у вигляді багаточлена.

Покажемо, як у вигляді многочлена десяткове число:

Типи систем числення

Найголовніше, що треба знати про систему числення – її тип: адитивна чи мультиплікативна. У першому типі кожна цифра має своє значення і для прочитання числа потрібно скласти всі значення використаних цифр:

XXXV = 10 +10 +10 +5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219;

У другому типі кожна цифра може мати різні значення в залежності від свого розташування в числі:

(ієрогліфи по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Тут двічі використаний ієрогліф "2", і в кожному випадку він набував різних значень "2000" і "20".

2 '1000 + 4' 100+2' 10+5 = 2425

Для адитивної (“додаткової”) системи треба зазначити всі цифри-символи зі своїми значеннями (їх буває до 4-5 десятків), і порядок записи. Наприклад, у Латинському записі якщо менша цифра записана перед більшою, то проводиться віднімання, а якщо після, то додавання (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультиплікативної системи потрібно знати зображення цифр та їх значення, а також основу системи числення. Визначити основу дуже легко, потрібно лише перерахувати кількість значущих цифр у системі. Якщо простіше, це число, з якого починається другий розряд у числа. Ми, наприклад, використовуємо цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Їх рівно 10, тому основа нашої системи числення теж 10, і система числення називається "десяткова". У наведеному вище прикладі використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (допоміжні 10, 100, 1000, 10000 і т. д. не в рахунок). Основних цифр тут теж 10, і система числення – десяткова.

Як можна здогадатися, скільки є чисел, стільки може бути й підстав систем числення. Але використовуються тільки найзручніші підстави систем числення. Як ви вважаєте, чому основа найвживанішої людської системи числення 10? Так саме тому, що на руках у нас 10 пальців. "Але на одній то руці всього п'ять пальців" - скажуть деякі і мають рацію. Історія людства знає приклади п'ятіркових систем числення. "А з ногами - двадцять пальців" - скажуть інші, і будуть теж абсолютно праві. Саме так вважали індіанці Майя. Це навіть видно за їхніми цифрами.

Дуже цікавим є поняття “дюжина”. Всім відомо, що це 12, але звідки з'явилося таке число мало хто знає. Подивіться свої руки, вірніше, на одну руку. Скільки фаланг на всіх пальцях однієї руки, не рахуючи великого? Вірно, дванадцять. А великий палець призначений відзначати відраховані фаланги.

А якщо на іншій руці відкладати пальцями кількість повних дюжин, то отримаємо всім відому шестидесяткову вавилонську систему.

У різних цивілізаціях вважали по-різному, але й зараз можна навіть у мові, у назвах і зображеннях цифр знайти залишки зовсім інших систем числення, які колись використовувалися цим народом.

Так у французів колись була двадцятерична система числення, оскільки 80 французькою звучить як “чотири рази двадцять”.

Римляни, або їхні попередники використовували колись п'ятіркову систему, тому що V ні що інше, як зображення долоні з відставленим великим пальцем, а X – це дві такі ж руки.

Система зчислення- це спосіб запису числа за допомогою зазначеного набору особливих знаків (цифр).

Система зчислення:

• дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);

• дає кожному числу унікальне уявлення (чи, хоча б, стандартне уявлення);

• відображає алгебраїчну та арифметичну структуру числа.

Запис числа в деякій системі числення називається кодом числа.

Окрема позиція у відображенні числа називається розряд, Отже, номер позиції - номер розряду.

Кількість розрядів у записі числа називають розрядністюта збігається з його довжиною.

Системи числення поділяються на позиційніі непозиційні.Позиційні системи числення діляться

на однорідніі змішані.

вісімкова система числення, шістнадцяткова система числення та інші системи числення.

Переклад систем числення.Числа можна перевести з однієї системи числення до іншої.

Таблиця відповідності цифр у різних системах числення.

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。 ）.

Español: Wikipedia має в своєму розпорядженні el sitio mas seguro. Ви використовуєте свій navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, що не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.이용 브라우저는 버전이 오래되어, 향후 위키피디아에 접속할 수 없게 될 가능성이 있습니다.디바이스를 갱신하거나 IT 관리자에게 상담해 주세요.기술면의 상세한 갱신 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Використовується для підтримки програмного забезпечення для TLS protocol versions, особливо TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер використовується для підключення до наших мереж. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

Система зчислення - це спосіб зображення чисел та відповідні йому правила дії над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна поділити на непозиційніі позиційні. Знаки, що використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

У непозиційних системах числення значення цифри не залежить від положення в числі.

Прикладом непозиційної системи числення є римська система (римські цифри). У римській системі як цифри використовуються латинські літери:

приклад 1.Число CCXXXII складається з двох сотень, трьох десятків і двох одиниць і дорівнює двомстам тридцяти двом.

У римських числах цифри записуються зліва направо порядку спадання. У разі їх значення складаються. Якщо ж ліворуч записана менша цифра, а праворуч - більша, їх значення віднімаються.

приклад 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 - 1 = 4.

приклад 3.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою позиційної системи числення.

Система числення, що застосовується в сучасній математиці, є позиційною десятковою системою. Її основа дорівнює десяти, т.к. запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти з прикладу будь-якого багатозначного числа. Наприклад, серед 333 перша трійка означає три сотні, друга - три десятки, третя - три одиниці.

Для запису чисел у позиційній системі з основою nпотрібно мати алфавітз nцифр. Зазвичай для цього при n < 10 используют nперших арабських цифр, а при n> 10 до 10 арабським цифрам додають літери. Ось приклади алфавітів кількох систем:

Якщо потрібно вказати основу системи, до якої належить число, воно приписується нижнім індексом до цього числа. Наприклад:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

У системі числення з основою q (q-ічна система числення) одиницями розрядів служать послідовні ступені числа q. qодиниць якогось розряду утворюють одиницю наступного розряду. Для запису числа в q-Ічної системи числення потрібно qрізних знаків (цифр), що зображують числа 0, 1, ..., q- 1. Запис числа qв q-Ічної системи числення має вигляд 10.

Розгорнута форма запису числа

Нехай Aq- Число в системі з основою q, аi -цифри даної системи числення, присутні у записі числа A, n+ 1 - число розрядів цілої частини числа m- Число розрядів дробової частини числа:

Розгорнутою формою числа Аназивається запис у вигляді:

Наприклад, для десяткового числа:

У наступних прикладах наводиться розгорнута форма шістнадцяткового та двійкового чисел:

У будь-якій системі числення її основа записується як 10.

Якщо всі складові в розгорнутій формі недесяткового числа подати в десятковій системі і обчислити отриманий вираз за правилами десяткової арифметики, то вийде число в десятковій системі, що дорівнює цьому. За цим принципом проводиться переведення з десяткової системи в десяткову. Наприклад, переведення в десяткову систему написаних вище чисел проводиться так:

Переведення десяткових чисел до інших систем числення

Переклад цілих чисел

Ціле десяткове число Xпотрібно перевести в систему з основою q: X = (a n a n-1 …a 1 a 0) q. Потрібно знайти значні цифри числа: . Представимо число у розгорнутій формі та здійснимо тотожне перетворення:

Звідси видно, що a 0 є залишок від поділу числа Xна число q. Вираз у дужках - ціле приватне від цього поділу. Позначимо його за X 1. Виконуючи аналогічні перетворення, отримаємо:

Отже, a 1 є залишок від розподілу X 1 на q. Продовжуючи поділ із залишком, отримуватимемо послідовність цифр шуканого числа. Цифра anу цьому ланцюжку поділів буде останнім приватним, меншим q.

Сформулюємо отримане правило: для того щоб перевести ціле десяткове число в систему числення з іншою основою, потрібно:

1) підставу нової системи числення висловити у десятковій системі числення і всі наступні дії проводити за правилами десяткової арифметики;

2) послідовно виконувати розподіл даного числа та одержуваних неповних приватних на підставу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо неповне приватне, менше дільника;

3) отримані залишки, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

4) скласти число у новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього приватного.

приклад 1.Перевести число 37 10 в двійкову систему.

Для позначення цифр у записі числа використовуємо символіку: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Звідси: 37 10 = l00l0l 2

приклад 2.Перекласти десяткове число 315 у вісімкову та шістнадцяткову системи:

Звідси випливає: 315 10 = 473 8 = 13B 16 . Нагадаємо, що 11 10 = B 16 .

Десятковий дріб X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a-m+1 a-m) q. Потрібно знайти значні цифри числа: a –1 ,a –2 , …, a-m. Представимо число у розгорнутій формі та помножимо його на q:

Звідси видно, що a–1 Xна число q. Позначимо за X 1 дробову частину твору та помножимо її на q:

Отже, a –2 є ціла частина твору X 1 на число q. Продовжуючи множення, отримуватимемо послідовність цифр. Тепер сформулюємо правило: для того щоб перевести десятковий дріб у систему числення з іншою основою, потрібно:

1) послідовно множити дане число та одержувані дробові частини творів на основу нової системи доти, поки дробова частина твору не стане рівною нулю або не буде досягнуто необхідної точності представлення числа в новій системі числення;

2) отримані цілі частини творів, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

3) скласти дробову частину числа у новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.

приклад 3.Перевести десятковий дріб 0,1875 у двійковий, вісімковий та шістнадцятковий системи.

Тут у лівому стовпці знаходиться ціла частина чисел, а правому - дробова.

Звідси: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Переклад змішаних чисел, Що містять цілу та дробову частини, здійснюється у два етапи. Ціла та дробова частини вихідного числа перекладаються окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковому записі числа в новій системі числення ціла частина відокремлюється від дробової коми (точкою).

Двійкові обчислення

Згідно з принципом Джона фон Неймана, комп'ютер здійснює обчислення в двійковій системі числення. У межах базового курсу досить обмежитися розглядом обчислень із цілими двійковими числами. Для виконання обчислень із багатозначними числами необхідно знати правила додавання та правила множення однозначних чисел. Ось ці правила:

Принцип перестановки складання та множення працює у всіх системах числення. Прийоми виконання обчислень з багатозначними числами у двійковій системі аналогічні десятковій. Інакше висловлюючись, процедури складання, віднімання і множення “стовпчиком” і розподілу “куточком” у двійковій системі виробляються як і, як й у десятковій.

Розглянемо правила віднімання та розподілу двійкових чисел. Операція віднімання є зворотною по відношенню до додавання. З наведеної вище таблиці додавання випливають правила віднімання:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ось приклад віднімання багатозначних чисел:

Отриманий результат можна перевірити додаванням різниці з віднімається. Повинне вийти зменшуване число.

Поділ - операція зворотна до множення. У будь-якій системі числення ділити на 0 не можна. Результат поділу на 1 дорівнює ділимому. Розподіл двійкового числа на 10 2 веде до переміщення коми на один розряд вліво, подібно до десяткового поділу на десять. Наприклад:

Поділ на 100 зміщує кому на 2 розряди вліво і т.д. У базовому курсі можна розглядати складні приклади поділу багатозначних двійкових чисел. Хоча здібні учні можуть впоратися з ними, зрозумівши загальні принципи.

Подання інформації, що зберігається в комп'ютерній пам'яті в її справжньому двійковому вигляді, дуже громіздко через велику кількість цифр. Йдеться про запис такої інформації на папері або виведення її на екран. Для цих цілей прийнято використовувати змішану двійково-вісімкову або двійково-шістнадцяткову системи.

Існує простий зв'язок між двійковим та шістнадцятковим уявленням числа. При переведенні числа з однієї системи в іншу шістнадцятковій цифрі відповідає чотирирозрядний двійковий код. Ця відповідність відображена у двійково-шістнадцятковій таблиці:

Двійково-шістнадцяткова таблиця

Такий зв'язок заснований на тому, що 16 = 24 і число різних чотирирозрядних комбінацій з цифр 0 і 1 дорівнює 16: від 0000 до 1111. Тому переведення чисел з шістнадцяткових у двійкові і назад проводиться шляхом формального перекодування по двійково-шістнадцятковій таблиці.

Ось приклад переведення 32-розрядного двійкового коду в 16-річну систему:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Якщо дано шістнадцяткове подання внутрішньої інформації, його легко перевести в двійковий код. Перевага шістнадцяткового уявлення полягає в тому, що воно в 4 рази коротше двійкового. Бажано, щоб учні запам'ятали двійково-шістнадцяткову таблицю. Тоді справді для них шістнадцяткове уявлення стане еквівалентним двійковому.

У двійково-вісімковій системі кожній вісімковій цифрі відповідає тріада двійкових цифр. Ця система дозволяє скоротити двійковий код утричі.