Теорема Менела допускає цікаве стереометричне узагальнення.

Теорема Менела для тетраедра.

Якщо площина μ перетинає ребра АВ, НД, CDі DAтетраедра АВСDу точках А 1, В 1, З 1, D 1, то (2).

Назад, якщо для чотирьох точок А 1, В 1, З 1, D 1, що лежать відповідно на ребрах АВ, НД, СD, DAтетраедра, виконано рівність (2), ці чотири точки лежать в одній площині.

Доведення.

Нехай h 1 , h 2 , h 3, h 4- відстані від точок А, В, З, Dвідповідно до площини μ тоді; ; ; .

Залишилося перемножити отримані стосунки.

Для доказу зворотної теореми побудуємо площину А1, В1, С1. Нехай ця площина перетинає ребро DA у точці Т.

За доведеним , а за умовою тому (і по лемі) точки Ті D 1збігаються.Твердження доведено.

§2. Теорема Чеви

Теорема Чеви для трикутника.

Нехай крапки А 1 , 1 ,З 1лежать відповідно на сторонах НД, АСі ВАтрикутника АВС(Див. рис). Для того щоб відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення: (3) (відрізки АА 1, ВВ 1, СС 1іноді називають чевіанами).

Доведення.

Необхідність. Нехай відрізки АА 1 , ВВ 1 , СС 1перетинаються у точці Мвсередині трикутника АВС .

Позначимо через S 1 , S 2 , S 3площі трикутників АМС, СМВ, АМВ, а через h 1 , h 2- відстані від точок Аі Удо прямої МС. Тоді аналогічно,. Перемноживши отримані пропорції, переконуємось у справедливості теореми.

Достатність. Нехай крапки А 1, В 1, З 1лежать на сторонах НД, СА, АС трикутника, і виконано співвідношення (3), М- точка перетину відрізків АА 1і ВВ 1, а відрізок СМперетинає бік АВу точці Q.Тоді, за вже доведеним , . З леми знову випливає збіг крапок Q=C 1. Достатність доведено.

Перейдемо тепер до просторового узагальнення теореми Чеви.

Теорема Чеви для тетраедра.

Нехай М- точка всередині тетраедра АВСD,а А 1 , 1 , С 1 і D 1- точки перетину площин СМD , AMD, АМВі СМВз ребрами АВ, В C , СDі DAвідповідно. Тоді (4). Назад: якщо для точок , то площині АВС , ВСD 1і DAB 1проходять через одну точку.

Доведення.

Необхідність легко отримати, якщо помітити, що точки А 1 , 1 ,З 1 , D 1лежать в одній площині (ця площина проходить через прямі А 1 З 1і 1 D 1, що перетинаються в точці М), і застосувати теорему Менелая. Зворотна теорема доводиться так само, і зворотна теоремі Менелая в просторі: потрібно провести площину через точки А 1, В 1, З 1і довести за допомогою леми, що ця площина перетне ребро DAу точці D 1 .

§3. Властивості медіан та бімедіан тетраедра

Медіаною тетраедра називається відрізок, що з'єднує вершину тетраедра з центром ваги протилежної грані (точкою перетину медіан).

Теорема (Застосування теореми Менела).

Медіани тетраедра перетинаються в одній точці. Ця точка ділить кожну медіану щодо 3:1, рахуючи від вершини.

Доведення.

Проведемо дві медіани: DD 1 і CC 1 тетраедра ABCD. Ці медіани перетнуться в точці F . CL– медіана грані ABC , DL– медіана грані ABD, а D 1 , C 1 - Центри тяжіння грані ABCі ABD. За теоремою Менела: і . Запишемо теорему для трикутника DLD 1 : ; => Доказ проводиться аналогічно до будь-якої іншої пари медіан.

Теорема (застосування теореми Чеви).

Для початку дамо визначення деяких елементів тетраедра. Відрізок, що з'єднує середини ребер тетраедра, що схрещуються, називається бімедіаною. Бівисотами (за аналогією) називають загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються.

Теорема.

Бімедіани тетраедра перетинаються в тій же точці, що і медіани тетраедра.

Доведення.

У трикутнику LDCвідрізки DCі LFперетнуться в точці K. За теоремою Чеви для цього трикутника: , тобто. CK = KD, LK - бімедіана.

Зауваження 1.

FL = FK. Теорема Менела для трикутника DLK : , , звідси LF = FK .

Примітка 2.

Крапка Fє центром тяжкості тетраедра. , , отже.

1.2 Різні види тетраедрів

§1. Піфагорові тетраедри

Трикутник називається піфагоровим, якщо в нього один кут прямої, а відношення будь-яких сторін раціонально (тобто застосовуючи подібність, можна з нього отримати прямокутний трикутник із цілими довжинами сторін).

За аналогією з цим тетраедр називають піфагоровим, якщо його плоскі кути при одній з вершин прямі, а відношення будь-яких двох ребер раціонально (з нього за допомогою подібності можна отримати тетраедр з прямими плоскими кутами при одній з вершин і цілими довжинами ребер).

Спробуємо вивести "Рівняння піфагорових тетраедрів", тобто. таке рівняння з трьома невідомими ξ, η, ζ, що будь-який тетраедр піфагорів дає раціональне рішення цього рівняння, і навпаки, будь-яке раціональне рішення рівняння дає піфагорів тетраедр.

Спочатку дамо спосіб опису всіх піфагорових трикутників.

На малюнку трикутник ОАВ- прямокутний, довжини його катетів позначені через аі b, а діна гіпотенузи - через р. Число (1) умовимося називати параметром прямокутного трикутника ОАВ(або точніше, параметром "щодо катета а"). Використовуючи співвідношення р 2 = а 2 + b 2, маємо:

З цих рівнянь безпосередньо отримаємо формули, що виражають відносини сторін прямокутного трикутника через його параметр:

і (2).

З формул (1) і (2) безпосередньо випливає таке твердження: для того, щоб прямокутний трикутник був піфагоровим, необхідно і достатньо, щоб ξ було раціональним. Справді, якщо трикутник піфагорів, то (1) випливає, що ξ раціонально. Назад, якщо ξ раціонально, то згідно (2) відносини сторін раціональні, тобто трикутник піфагорів.

Нехай тепер ОАВС- тетраедр, у якого плоскі кути при вершині Пропрямі. Довжини ребер, що виходять з вершини О, позначимо через a, b, с, а довжини ребер, що залишилися через р, q, r .

Розглянемо параметри трьох прямокутних трикутників ОАВ, ОВС, ОСА:

Тоді за формулами (2) можна виразити відносини сторін цих прямокутних трикутників через їх параметри:

З (4) безпосередньо випливає, що параметри ξ, η, ζ , задовольняють співвідношення (6). Це і є загальне рівняння піфагорових тетраедрів.

З формул (3) - (5) безпосередньо випливає таке твердження: для того, щоб тетраедр ОАВСз прямими плоскими кутами при вершині О був піфагоровим, необхідно і достатньо, щоб параметри ξ, η, ζ (що задовольняють рівняння (6)) були раціональними.

Продовжуючи аналогію піфагорового трикутника з піфагоровим тетраедром, спробуємо сформулювати та довести просторове узагальнення теореми Піфагора для прямокутних тетраедрів, яка, очевидно, буде вірною і для піфагорових тетраедрів. У цьому допоможе наступна лема.

Лемма 1.

Якщо площа багатокутника дорівнює S, то площа його проекції на площину π дорівнює де φ - Кут між площиною π і площиною багатокутника.

Доведення.

Твердження леми є очевидним для трикутника, одна сторона якого паралельна лінії перетину площини π з площиною багатокутника. Справді, довжина цієї сторони при проекції не змінюється, а довжина висоти, опущеної її у проекції, змінюється в cosφразів.

Доведемо тепер, що будь-який багатогранник можна поділити на трикутники цього виду.

Проведемо при цьому через всі вершини багатокутника прямі, паралельні лінії перетину площин, багатокутник розріжеться у своїй на трикутники і трапеції. Залишається розрізати кожну трапецію за будь-якою з її діагоналей.

Теорема 1(Просторова теорема Піфагора).

У прямокутному тетраедрі АВСDз плоскими кутами при вершині Dсума квадратів площ трьох його прямокутних граней дорівнює квадрату площі грані АВС .

Доведення.

Нехай α - кут між площинами АВСі DВС, D"- Проекція точки Dна площину АВС. Тоді S ΔDBC =СоsαS ΔАBCі S ΔD"BC = c оsαS ΔDBC(по лемі 1), тому c оsα = . S Δ D " BC = .

Аналогічні рівності можна здобути і для трикутників D"АВі D"АС. Складаючи їх та враховуючи, що сума площ трикутників D"ВС , D"АСі D"АВдорівнює площі трикутника АВСотримуємо необхідне.

Завдання.

Нехай усі плоскі кути при вершині Dпрямі; a , b , c- Довжини ребер, що виходять з вершини Dна площину ABC. Тоді

Доведення.

За теоремою Піфагора для прямокутного тетраедра

З іншого боку

1= ) => .

§2. Ортоцентричні тетраедри

На відміну від трикутника, висоти якого завжди перетинаються в одній точці - ортоцентрі, не всякий тетраедр має аналогічну властивість. Тетраедр, висоти якого перетинаються в одній точці, називається ортоцентричним. ми почнемо вивчення ортоцентричних тетраедрів з необхідних та достатніх умов ортоцентричності, кожну з яких можна прийняти за визначення ортоцентричного тетраедра.

(1) Висоти тетраедра перетинаються в одній точці.

(2) Основи висот тетраедра є ортоцентрами граней.

(3) Кожні два протилежні ребра тетраедра перпендикулярні.

(4) Суми квадратів протилежних ребер тетраедра дорівнюють.

(5) Відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, дорівнюють.

(6) Добутки косінусів протилежних двогранних кутів рівні.

(7) Сума квадратів площ граней вчетверо менша від суми квадратів творів протилежних ребер.

Доведемо деякі з них.

Доказ (3).

Нехай кожні два протилежні ребра тетраедра перпендикулярні.

Отже, висоти тетраедра попарно перетинаються. Якщо кілька прямих попарно перетинаються, вони лежать у одній площині чи проходять через одну точку. В одній площині висоти тетраедра лежати не можуть, тому що інакше в одній площині лежали б і його вершини, тому вони перетинаються в одній точці.

Взагалі кажучи, щоб висоти тетраедра перетиналися лише у точці, потрібно й досить вимагати перпендикулярність лише двох пар протилежних ребер. Доказ цієї пропозиції безпосередньо випливає з наступного завдання.

Завдання 1.

Даний довільний тетраедр ABCD. Доведіть, що .

Рішення.

Нехай а= , b= , с=. Тоді , і складаючи ці рівності, отримуємо необхідне.

Нехай а= , b = і з =. Рівність 2 + 2 = 2 + 2 , що ті. (А,с) = 0. Застосовуючи даний алгоритм до інших пар протилежних ребер, очевидно, отримаємо шукане твердження.

Наведемо доказ якості (6).

Для доказу використовуємо такі теореми:

Теорема синусів. «Твор довжин двох протилежних ребер тетраедра, поділений на добуток синусів двогранних кутів при цих ребрах, те саме для всіх трьох пар протилежних ребер тетраедра».

Теорема Бертшнейдер. «Якщо aі b- Довжини двох схрещуються ребер тетраедра, а - двогранні кути при цих ребрах, то величина не залежить від вибору пари ребер, що схрещуються.

Скориставшись теоремою синусів для тетраедра і теоремою Бертшнейдера, отримуємо, що твори косінусів протилежних двогранних кутів рівні тоді й лише тоді, коли рівні суми квадратів протилежних ребер, з чого й випливає справедливість якості (6) ортоцентричного тетраедра.

На закінчення пункту про ортоцентричний тетраедр вирішимо кілька завдань на цю тему.

Завдання 2.

Доведіть, що в ортоцентричному тетраедрі виконується співвідношення ВІН 2 = 4R 2 -3d 2, де Про- Центр описаної сфери, H- точка перетину висот, R- радіус описаної сфери, d-відстань між серединами протилежних ребер.

Рішення.

Нехай Доі L- середини ребер АВі СDвідповідно. Крапка Нлежить у площині, що проходить через СDперепендикулярно АВ, а крапка Про- у площині, що проходить черех Доперпендикулярно АВ.

Ці площини симетричні щодо центру мас тетраедра – середини відрізка KL. Розглядаючи такі площини для всіх ребер, отримуємо, що точки Ні Просиметричні щодо М, а значить КLМО- Паралелограм. Квадрати його сторін рівні і тому. Розглядаючи перетин, що проходить через точку Мпаралельно АВі СD, отримуємо що АВ 2 +CD 2 = 4d 2 .

Тут можна додати, що пряма, на якій лежать крапки О, Мі Н, Називають прямий Ейлера ортоцентричного тетраедра.

Зауваження.

Поряд із прямою Ейлера можна відзначити існування сфер Ейлера для ортоцентричного тераедра, про які і йтиметься у наступних завданнях.

Завдання 3.

Довести, що для ортоцентричного тетраедра кола 9 точок кожної грані належать до однієї сфери (сфери 24 точок). Для вирішення цього завдання необхідно довести умову наступного завдання.

Завдання 4.

Довести, що середини сторін трикутника, основи висот та середини відрізків висот від вершин до точки їх перетину лежать на одному колі – колі 9 точок (Ейлер).

Доведення.

Нехай АВС- даний трикутник, Н- точка перетину його висот, А 1, В 1, З 1- середини відрізків АН, ВН, СН; АА 2- Висоти, А 3- середина НД. Вважатимемо для зручності, що АВС- Гострокутний трикутник. Оскільки У 1 А 1 З 1 =ВАСі ΔВ 1 А 2 С 1 =ΔВ 1 НС 1, то В 1 А 2 З 1 = В 1 НС = 180 ° - У 1 А 1 З 1, тобто. крапки А 1, В 1, А 2, С 1лежать на одному колі. Також легко побачити, що В 1 А 3 С 1 = В 1 НС = 180 ° - В 1 А 1 С 1, тобто. крапки А 1, В 1, А 3, З 1теж лежать на одному (а значить на тому ж) колі. Звідси випливає, що всі 9 точок, про які йдеться в умові, лежать на одному колі. Випадок тупокутного трикутника АВСрозглядається аналогічно.

Зауважимо, що окружність 9 точок гомотетична описаного кола з центром Н і коефіцієнтом (саме так розташовані трикутники АВСі А 1 В 1 З 1). З іншого боку, коло 9 точок гомотетична описаного кола з центром у точці перетину медіан трикутника. АВСі коефіцієнтом (саме так розташовані трикутники АВС та трикутник з вершинами в серединах його сторін).

Тепер, після визначення кола 9 точок, можна перейти до доказу умови задачі 3.

Доведення.

Перетин ортоцентричного тетраедра будь-якою площиною, паралельною протилежним ребрам і проходить на рівній відстані від цих ребер, є прямокутник, діагоналі якого рівні відстані між серединами протилежних ребер тетраедра (усі ці відстані рівні між собою, див. необхідну і достатню умову ортоцентр. середини всіх ребер ортоцентричного тетраедра лежать на поверхні сфери, центр якої збігається з центром тяжкості даного тетраедра, а діаметр дорівнює відстані між серединами протилежних ребер тетраедра.

Завдання 5.

Довести, що для ортоцентричного тетраедра центри ваги та точки перетину висот граней, а також точки, що ділять відрізки кожної висоти тетраедра від вершини до точки перетину висот щодо 2:1, лежать на одній сфері (сфері 12 точок).

Доведення.

Нехай крапки О, Мі Н- відповідно центр описаної кулі, ценетр тяжкості та ортоцентр ортоцентричного тетраедра; М- середина відрізка ВІН(Див. Завдання 2). Центри тяжкості граней тетраедра служать вершинами тетраедра, гомотетичного, з центром гомотетіії в точці Мі коефіцієнтом при цій гомотетії точка Проперейде в крапку Про 1, розташовану на відрізку МНтак що , Про 1буде центром сфери граней, що проходить через центри ваги.

З іншого боку, точки, що ділять відрізки висот тетраедра від вершин до ортоцентру щодо 2:1, служать вершинами тетраедра, гомотетичного даному з центром гомотетії в Ні коефіцієнтом. При цій гомотетії крапка ПроЯк легко бачити, перейде в ту ж точку Про 1. Таким чином, вісім з дванадцяти точок лежать на поверхні сфери з центром Про 1і радіусом, втричі меншим, ніж радіус сфери, описаної біля тетраедра.

Доведемо, що точки перетину висот кожної грані лежать лежить на поверхні тієї ж сфери.

Нехай О`, Н`і М`- центр описаного кола, точка перетину висот і центр тяжкості будь-якої грані. О`і Н`є проекціями точок Проі Нна площину цієї грані, а відрізок М`ділить відрізок Про `Н`щодо 1:2, рахуючи від О`(Відомий планиметричний факт). Тепер легко переконатися, що проекція Про 1на площину цієї грані - точка Про `1збігається з серединою відрізка М`Н`, тобто. Про 1рівновіддалена від М`і Н`що було потрібно.

§3. Каркасні тетраедри

Каркасним називається тетраедр, котрого існує сфера, що стосується всіх шести ребер тетраедра. Не всякий каркасний тетраедр. Наприклад, легко зрозуміти, що не можна побудувати сферу, що стосується всіх ребер рівногранного тетраедра, якщо описаний паралелепіпед "довгий".

Перерахуємо властивості каркасного тетраедра.

(1) Існує сфера, що стосується всіх ребер тетраедра.

(2) Суми довжин ребер, що схрещуються, рівні.

(3) Суми двогранних кутів при протилежних ребрах дорівнюють.

(4) Кола, вписані в межі, попарно торкаються.

(5) Всі чотирикутники, що виходять на розгортці тетраедра, описані.

(6) Перпендикуляри, відновлені до граней із центрів вписаних у них кіл, перетинаються лише у точці.

Доведемо кілька властивостей каркасного тераедра.

Доказ (2).

Нехай Про- Центр сфери, що стосується чотирьох ребер у внутрішніх точках. зауважимо тепер, що якщо з точки Хпровести дотичні ХРі ХQдо сфери з центром Про, то точки Рі Qсиметричні щодо площини, що проходить пряму ХОі середину відрізка PQ, а значить площині РОХі QОХутворюють із площиною ХРQрівні кути.

Проведемо 4 площини, що проходять через точку Про і ребра тетраедра, що розглядаються. Вони розбивають кожен із розглянутих двогранних кутів на два двогранні кути. Вище було показано, що отримані двогранні кути, що прилягають до однієї грані тетраедра, дорівнюють. Як в одну, так і в іншу суму двогранних кутів, що розглядається, входить по одному отриманому куту для кожної грані тетраедра. Проводячи аналогічні міркування для інших пар ребер, що схрещуються, отримаємо справедливість властивості (2).

Згадаймо деякі властивості описаного чотирикутника:

a) Плоский чотирикутник буде описаним тоді і лише тоді, коли суми його протилежних сторін дорівнюють;

b) Якщо описаний чотирикутник розбити діагоналлю на два трикутники, то вписані в трикутники кола стосуються

Враховуючи ці властивості, легко довести решту властивостей каркасного тетраедра. Властивість (3) тетраедра безпосередньо випливає із властивості (b), а властивість (4) із властивості (a) та властивості (1) тетраедра. Властивість (5) із якості (3). Дійсно, адже кола вписані в грані тетраедра є перетинами його граней зі сферою, що стосується ребер, звідки очевидно, що перпендикуляри, відновлені в центрах вписаних у межі кіл неминуче перетнуться в центрі цієї сфери.

Завдання 1.

Сфера стосується ребер АВ, НД, СDі DAтетраедра АВСDу точках L, M, N, K,є вершинами квадрата. Доведіть, що якщо ця сфера стосується ребра АС, то вона стосується і ребра BD .

Рішення.

За умовами КLMN- Квадрат. Проведемо через крапки К, L, M, Nплощини, що стосуються сфери. Оскільки всі ці площини однаково нахилені до площини КLMN, то вони перетинаються в одній точці S, розташованої на прямій ГО 1де - центр сфери, а Про 1- Центр квадрата. Ці площини перетинають поверхню квадрата. KLMNпо квадрату TUVW, серединами сторін якого є точки К, L, M, N. У чотиригранному вугіллі STUVW з вершиною S усі плоскі кути рівні, а точки К, L, M, Nлежать на бісектрисах його плоских кутів, причому SK=SL=SM=SN. Отже,

SA=SCі SD=SB, а значить АК=АL=CM=CNі ВL=BM=DN=DK. За умовою АСтеж стосується кулі, тому А C =АК+CN=2АК. А оскільки SK- бісектриса кута DSA, то DK:КА=DS:SA=DВ:АС. З рівності АС = 2АКслід тепер, що DВ=2DK. Нехай Р- середина відрізка DВтоді Рлежить на прямій SO. Трикутники DOKі DOPрівні, т.к. DK=DPі DКО = DPO = 90 ° .Тому ОР=ОК=R, де R- радіус сфери, а отже, DBтакож стосується сфери.

§4. Рівногранні тетраедри

Рівногранним називається тетраедр, усі грані якого рівні. Щоб уявити собі рівногранний тетраедр, візьмемо довільний трикутник з паперу, і будемо згинати його по середніх лініях. Тоді три вершини зійдуться в одну точку, а половинки сторін зімкнуться, утворюючи бічні ребра тетраедра.

(0) Грані конгруентні.

(1) Ребра, що схрещуються, попарно рівні.

(2) Тригранні кути рівні.

(3) Протилежні двогранні кути рівні.

(4) Два плоскі кути, що спираються на одне ребро, рівні.

(5) Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180°.

(6) Розгортка тетраедра – трикутник або паралелограм.

(7) Описаний паралелепіпед прямокутний.

(8) Тетраедр має три осі симетрії.

(9) Загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються, попарно

перпендикулярні.

(10) Середні лінії попарно перпендикулярні.

(11) Периметри граней рівні.

(12) Площі граней рівні.

(13) Висоти тетраедра рівні.

(14) Відрізки, що з'єднують вершини з центрами важкості протилежних граней, рівні.

(15) Радіуси описаних біля граней кіл рівні.

(16) Центр тяжкості тетраедра збігається із центром описаної сфери.

(17) Центр тяжкості збігається із центром вписаної сфери.

(18) Центр описаної сфери збігається із центром вписаної.

(19) Вписана сфера стосується граней у центрах описаних у цих

граней кіл.

(20) Сума зовнішніх одиничних нормалей (поодиноких векторів,

перпендикулярних до граней), що дорівнює нулю.

(21) Сума всіх двогранних кутів дорівнює нулю.

Практично всі властивості рівногранного тетраедра випливають із його

визначення, тому доведемо лише деякі з них.

Доказ (16).

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (1) AB=CD. Нехай крапка Довідрізка АВ, а крапка Lсередина відрізка DC, звідси відрізок KLбімедіана тетраедра ABCD, звідки за властивостями медіан тетраедра випливає, що точка Про- середина відрізка KL, є центром тяжкості тетраедра ABCD .

До того ж медіани тетраедра перетинаються в центрі тяжкості, точці Про, і діляться цією точкою щодо 3:1, рахуючи від вершини. Далі, враховуючи вищесказане та властивість (14) рівногранного тетраедра, отримуємо наступну рівність відрізків АТ = ВО = СО = DО, З якого і випливає, що точка Проє центром описаної сфери (за визначенням описаної у багатогранника сфери).

Назад. Нехай Доі L- середини ребер АВі СDвідповідно, точка Про- Центр описаної сфери тетраедра, тобто. середина відрізка KL. Т.к. Про- центр описаної сфери тетраедра, то трикутники AOBі COD- рівнобедрені з рівними бічними сторонами та рівними медіанами OKі OL. Тому ΔAOB =ΔCOD. А значить AB=CD. Аналогічно доводиться рівність інших пар протилежних ребер, з чого за якістю (1) рівногранного тетраедра і слідуватиме шукане.

Доказ (17).

Розглянемо бісектор двогранного кута при ребрі AB, він розділить відрізок DC щодо площ граней ABDі ABC .

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (12) S ΔABD =S ΔABD =>DL=LСзвідки випливає, що біссектор ABLмістить бімедіану KL. Застосовуючи аналогічні міркування інших двогранних кутів, і беручи до уваги те що, що біссектори тетраедра перетинаються лише у точці, що є центром вписаної сфери, отримуємо, що ця точка неминуче буде центром тяжкості даного рівногранного тетраедра.

Назад. З того, що центр тяжкості та центр вписаної сфери збігаються маємо таке: DL=LC=>SABD=SADC. Доводячи подібним чином рівновеликість всіх граней і, застосовуючи властивість (12) рівногранного тетраедра, отримуємо шукане.

Тепер доведемо властивість (20). Для цього спочатку потрібно довести одну з властивостей довільного тетраедра.

тетраедр теорема шкільний підручник

Лемма 1.

Якщо довжини векторів перпендикулярних до граней тетраедра чисельно дорівнюють площам відповідних граней, то сума цих векторів дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай Х- точка всередину та багатогранника, h i (i=1,2,3,4)- відстань від неї до площини i-ой грані.

Розріжемо багатогранник на піраміди з вершиною Х, підставами яких є його грані. Об'єм тетраедра Vдорівнює сумі обсягів цих пірамід, тобто. 3 V=∑h i S i, де S iплоща i-ой грані. Нехай далі, n i- одиничний вектор зовнішньої нормалі до i-ої грані, Mi - довільна точка цієї грані. Тоді h i = (ХM i , S i n i)тому 3V=∑h i S i =∑(ХM i , S i n i)=(ХО, S i n i)+(ОМI , S i n i)=(ХО, ∑S i n i)+3V, де Про- деяка фіксована точка тетраедра, отже, ∑S i n i =0 .

Далі очевидно, що властивість (20) рівногранного тетраедра є окремим випадком вищезазначеної леми, де S 1 =S 2 =S 3 =S 4 =>n 1 =n 2 =n 3 =n 4, і так як площі граней не дорівнюють нулю, отримуємо правильну рівність n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =0 .

На закінчення розповіді про рівногранному тетраедрі наведемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Пряма, що проходить через центр мас тетраедра та центр описаної біля нього сфери, перетинає ребра ABі CD. Доведіть, що AC=BDі AD=BC .

Рішення.

Центр мас тетраедра лежить на прямій, що з'єднує середини ребер АВі СD .

Отже, на цій прямій лежить центр описаної сфери тетраедра, а значить, вказана пряма перпендикулярна ребрам АВі СD. Нехай З`і D`- Проекції точок Cі Dна площину, що проходить через пряму АВпаралельно СD. Т.к. AC`BD`- паралелограм (за побудовою), то АС = ВDі АD = НД .

Завдання 2.

Нехай h- Висота рівногранного тетраедра, h 1і h 2- відрізки, куди одна з висот грані ділиться точкою перетину висот цієї грані. Довести, що h 2 = 4h 1 h 2; довести також, що основа висоти тетраедра та точка перетину висот грані, на яку ця висота опущена, симетричні щодо центру кола, описаного біля цієї грані.

Доведення.

Нехай АВСD- даний тетраедр, DH- Його висота, DA 1, DВ 1, DС 1- Висоти граней, опущені з вершини Dна сторони ВС, СА та АВ .

Розріжемо поверхню тетраедра вздовж ребер DA, DB, DC, і зробимо розгортку. Очевидно, що Нє точка перетину висот трикутника D 1 D 2 D 3. Нехай F- точка перетину висот трикутника ABC, АК- Висота цього трикутника, АF=h 1 , FК=h 2. Тоді D 1 Н=2h 1 , D 1 A 1 =h 1 -h 2 .

Отже, оскільки h- Висота нашого тетраедра, h 2 =DН 2 =DA 2 - НA 1 2 = (h 1+ h 2) 2 - (h 1 - h 2) 2 =4h 1 h 2.Нехай тепер М- центр тяжкості трикутника ABC(він же центр тяжкості трикутника D 1 D 2 D 3), Про- Центр описаної біля нього кола. Відомо що F, Мі Пролежать на одній прямій (пряма Ейлера), причому М- між Fі Про , FM =2МО, з іншого боку, трикутник D 1 D 2 D 3гомотетичний трикутнику АВСз центром у Мта коефіцієнтом (-2), значить МН = 2FM. З цього виходить що ВІН = FO .

Завдання 3.

Довести, що в рівногранному тетраедрі основи висот, середини висот та точки перетину висот граней лежать на поверхні однієї сфери (сфери 12 точок).

Доведення.

Вирішуючи задачу 2, ми довели, що центр описаної біля тетраедра сфери проектується на кожну грань у середину відрізка, кінцями якого є основа висоти, опущеної на цю грань, і точка перетину висот цієї грані. А оскільки відстань від центру описаної біля тетраедра сфери до грані дорівнює де h- висота тетраедра, центр описаної сфери віддалений від даних точок на відстань , де а- відстань між точкою перетину висот і центром описаного біля грані кола.

§5. Інцентричні тетраедри

Відрізки, що з'єднують центри тяжкості граней тетраедра з протилежними вершинами (медіани тетраедра), завжди перетинаються лише у точці, ця точка - центр тяжкості тетраедра. Якщо в цій умові замінити центри тяжіння граней на ортоцентри граней, воно перетвориться на нове визначення ортоцентричного тетраедра. Якщо ж замінити їх на центри вписаних у межі кіл, званих інколи інцентрами, ми отримаємо визначення нового класу тетраедрів - інцентричних.

Ознаки класу інцентричних тетраедрів також досить цікаві.

(1) Відрізки, що з'єднують вершини тетраедра з центрами кіл, вписаних у протилежні грані, перетинаються в одній точці.

(2) Бісектриси кутів двох граней, проведеного до спільного ребра цих граней, мають загальну основу.

(3) Добутки довжин протилежних ребер рівні.

(4) Трикутник, утворений іншими точками перетину трьох ребер, що виходять з однієї вершини, з будь-якою сферою, що проходить через три кінці цих ребер, є рівностороннім.

Доказ (2).

За якістю (1), якщо DF, BE, CF, AM- бісектриси відповідних кутів у трикутниках АВСі FBD, то відрізки КСі LDматимуть спільну точку I(Див. рис). Якщо ж прямі DKі СLне перетинаються в точці F, то, очевидно, КСі DLне перетинаються, чого не може (за визначенням інцентричного тетраедра).

Доказ (3).

Враховуючи властивість (2) та властивість бісектриси, отримуємо співвідношення:

; .

§6. Пропорційні тетраедри

Пропорційними називаються тетраедри, у яких

(1) Бивисоти рівні.

(2) Проекція тетраедра на площину, перпендикулярну до будь-якої бімедіани, є ромб.

(3) Грані описаного паралелепіпеда рівновеликі.

(4) 4а 2 а 1 2 - (b 2 +b 1 2 -c 2 -c 1 2) 2 =4b 2 b 1 2 - (c 2 +c 1 2 -a 2 -a 1 2) 2 =4c 2 c 1 2 - (a 2 +a 1 2 -b 2 -b 1 2) 2, де аі а 1 , bі b 1 , зі з 1- Довжини протилежних ребер.

Для доказу еквівалентності визначень (1) - (4) досить помітити, що бівисоти тетраедра рівні висот паралелограма, що є його проекцією, згадуваної у властивості (2), і висот описаного паралелепіпеда, і що квадрат площі паралелепіпеда, що містить, скажімо с,дорівнює , а скалярний добуток виражається через ребра тетраедра за формулою (4).

Додамо сюди ще дві умови пропорційності:

(5) Для кожної пари протилежних ребер тетраедра площини, проведені через одне з них та середину другого, перпендикулярні.

(6) В описаний паралелепіпед пропорційного тетраедра можна вписати сферу.

§7. Правильні тетраедри

Якщо ребра тетраедра рівні між собою, рівні між собою будуть і тригранні, і двогранні, і плоскі кути. У такому разі тетраедр називається правильним. Зауважимо також, що такий тетраедр є ортоцентричним, і каркасним, і рівногранним, і інцентричним, і пропорційним.

Зауваження 1.

Якщо тетраедр є рівногранним і належить до одного з таких видів тетраедрів: ортоцентричний, каркасний, інцентричний, пропорційний, то він буде правильним.

Примітка 2.

Тетраедр є правильним, якщо він належить до двох будь-яких видів тетраедрів з перерахованих: ортоцентричний, каркасний, інцентричний, пропорційний, рівногранний.

Властивості правильного тетраедра:

Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнюватиме 180º

(0) У правильний тетраедр можна вписати октаедр, причому чотири (з восьми) грані октаедра будуть поєднані з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть поєднані з центрами шести ребер тетраедра.

(1) Правильний тетраедр складається з одного вписаного октаедра (в центрі) і чотирьох тетраедрів (по вершинах), причому ребра цих тетраедрів і октаедра вдвічі менші за ребер правильного тетраедру

(2) Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, до того ж чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами куба.

(3) Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, причому чотири вершини тетраедра будуть поєднані з чотирма вершинами ікосаедра.

Завдання 1.

Довести, що ребра правильного тетраедра, що схрещуються, взаємно перпендикулярні.

Рішення:

Нехай DH –висота правильного тетраедра, точка H – центр правильного Δ ABC . Тоді проекцією відрізка AD на площину основи ABC буде відрізок BH . Т.к. BH AC , то за теоремою про три перпендикуляри похила BD AC .

Завдання 2.

Даний правильний тетраедр МАВСз ребром 1. знайдіть відстань між прямими ALі МО, де L-середина ребра МС , Про-Центр грані АВС.

Рішення:

1. Відстань між двома схрещуються прямими - це довжина перпендикуляра, опущеного з однієї прямої, до площини, паралельної цієї прямої і містить другу пряму.

2. Будуємо проекцію AKвідрізка ALна площину ABC. Площина AKLперпендикулярна площині ABC, паралельна прямий MOі містить пряму AL. Значить, довжина, що шукається, - це довжина перпендикуляра ON, опущеного з точки Oдо AK .

3. Знайдемо S Δ KHA двома способами.

S Δ = .

З іншого боку: S Δ KHA =

тому ρ.

Знайдемо ON : ρ= .

Завдання 3.

Кожне ребро трикутної піраміди PABCодно 1; BD- Висота трикутника ABC. Рівносторонній трикутник BDEлежить у площині, що утворює кут ϕ з ребром AC, причому точки Pі Eлежать по один бік від площини ABC. Знайдіть відстань між точками Pі E .

Рішення.Оскільки всі ребра піраміди PABCрівні, це правильний тетраедр. Нехай M– центр основи ABC , N- ортогональна проекція вершини Eрівностороннього трикутника BDEна площину ABC ,K– середина BD ,F- Основа перпендикуляра, опущеного з точки Eна висоту PMтетраедра PABC. Так як EK BD, то за теоремою про три перпендикуляри NK BDтому EKN- Лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами ABCі BDE, А т.к. NK || AC, то EKN = ϕ . Далі маємо:

BD = , MD = , KD = , BD = , PM = ,

KM = KD - MD = - = , EK = BD · = , EN = EK sin ϕ = sin ϕ ,

NK = EK cos ϕ = cos ϕ , MN 2= NK 2+ KM 2 = cos 2ϕ + ,

PE 2= EF 2+ PF 2= MN 2 + (PM - MF)2= MN 2 + (PM - EN)2 =

= cos 2ϕ + + ( - sin ϕ )2 = cos 2ϕ + + - sin ϕ + sin 2ϕ == + + - sin ϕ = - sin ϕ = - sin ϕ .

Отже,

PE = = .

Завдання 4.

Знайди кути між схрещеними висотами сусідніх граней тетраедра.

Рішення.

Випадок №1.

Нехай BKі DF- Висоти граней ABCі BCD. BK, FD = α . Позначимо довжину ребра тетраедра як a. Проведемо FL || BKтоді α = DFL . , KL = LC.

Δ DLF :

; ; ; .

Випадок №2 (висота розташована інакше).

BKі CN- Висоти граней ABCі BCD. Проведемо FP || CNі FL || BK . ; . Знайдемо LP .DO- Висота правильного тетраедра, DO = , Q- Проекція Pна площину ABC , . ,

Запишемо теорему косінусів для Δ LFP :

Так як кут між прямими за визначенням гострий

Розділ II. Тетраедр в курсі математики середньої школи

§1. Порівняльна характеристика викладу теми «тетраедр» у шкільних підручниках

У шкільному курсі геометрії вивчення основ теми «Тетраэдр» відводиться досить багато часу. Методичних проблем проведення цієї теми практично не виникає, тому що учні знають, що таке піраміда (в т.ч. і трикутна), як із пропедевтичних курсів колишніх років навчання математики, так із життєвого досвіду. Правильний тетраедр асоціюється з його плоским аналогом – правильним трикутником, а рівність сторін із рівністю ребер чи граней.

Однак проблеми у вивченні теми для учнів існують, і різні підручники намагаються вирішити їх різними способами(порядком викладу теоретичного матеріалу, рівнем складності завдань тощо). Дамо коротку характеристику поширених підручників геометрії щодо вивчення тетраедра.

Виклад теми «Тетраедр» у підручнику «Геометрія» для 10-11 класів Атанасяна Л. С. та ін.

У базовомупідручнику «Геометрія» для 10-11 класів середньої школи Атанасяна Л. С. та ін. інформацію про тетраедр можна знайти в 7 параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Автори підручника визначають тетраедр як поверхню, що складається з чотирьох трикутників. З теоретичної бази підручника для 10 класу можна отримати знання про грані, ребра і вершини тетраедра, про побудову перерізів тетраедра площиною, обчислення площі повної поверхні тетраедра, в т.ч. і усіченого (глава III, § 2 «Піраміда»).

Теоретичний матеріал підручника викладено компактно та стилістично однаково. Деякий теоретичний матеріал розташований у практичній частині підручника (докази деяких теорем проводиться у завданнях). Практичний матеріал підручника поділено на два рівні складності (є т.зв. «завдання підвищеної труднощі», відзначені спеціальним символом «*»). Крім того, в кінці підручника є задачник із завданнями високої складності, деякі з яких стосуються тетраедра. Розглянемо деякі завдання підручника.

Вирішення задач.

Завдання 1 (№300). У правильній трикутній піраміді DABCкрапки E, F та P- середини сторін BC , AB та AD. Визначте вид перерізу та знайдіть його площу, якщо сторона основи піраміди дорівнює a, бічне ребро одно b.

Рішення.

Будуємо переріз площиною, що проходить через крапки E, F, P. Проведемо середню лінію трикутника ABC , EF || AC ,

EF || AC,а A Cлежить у пл. D CA, значить EF || пл. DCA.Площина перерізу перетне грань DCAпо прямій PK.

Т.к. площина перерізу проходить через пряму EFпаралельну площині DCAі перетинає площину DCA,то лінія перетину PKпаралельна прямий EF.

Побудуємо в грані BDAвідрізок FP,а в грані BDC -відрізок EK.Чотирикутник EFOKі є шуканий переріз. EF || AC, PK || EF || AC, , , значить.

Т.к. PK || EF та PK = EF,то EFPK -паралелограм. Таким чином, EK || EP, EP -середня лінія трикутника BCD, .

Кут між схрещувальними прямими DBі CAдорівнює 90 °. Доведемо це. Збудуємо висоту піраміди DO. Крапка O- центр правильного трикутника ABC. Продовжимо відрізок BOдо перетину зі стороною ACу точці M. У правильному трикутнику ABC: BM- висота, медіана та бісектриса, отже. Маємо, що , тоді за ознакою перпендикулярності прямої та площини тоді.

Т.к. , PK || CAі EK || BD, то й EFPK- Прямокутник.

.

Завдання 2 (№692).

Підставою піраміди є прямокутний трикутник із катетами aі b. Кожне її бічне ребро нахилено до площини основи під кутом. φ . Знайдіть обсяг піраміди

Рішення:

ABCD -піраміда, кут ABC -прямокутний , AC = b, BC = a,кути DAO, DBO, DCOрівні. Знайдемо V DABC0.

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBOпо катету та гострому куту, значить AO=OC=OB=Rкола, описаного біля ∆ABC.Т.к . ∆ABC -прямокутний, то .

2) З ∆ DOC : ; .

3) ; ; .

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 7-11 класів Погорєлова А.В.

В іншому базовому підручнику О.В. Погорєлова та ін. Теоретичний матеріал тією чи іншою мірою стосується теми «Тетраедр» міститься в пунктах 176-180, 186, 192, 199, 200.

У пункті 180 "Правильні багатогранники" міститься визначення поняття "правильний тетраедр" ("Тетраедр є трикутною пірамідою, у якої всі ребра рівні"), доказ деяких властивостей і теорем про піраміду проілюстровано кресленнями тетраедра. Однак у цьому навчальному посібнику акцент на вивченні фігури не ставиться, і в цьому сенсі його інформативність (стосовно тетраедра) можна оцінити як низьку. Практичний матеріал підручника містить задовільну кількість завдань, що стосуються піраміди, в основі якої розташований трикутник (що по суті і є тетраедр). Наведемо приклади розв'язання деяких завдань.

Вирішення задач.

Завдання 1 (№ 41 із пункту «Многогранники»).

Основа піраміди - рівнобедрений трикутник, у якого основа дорівнює 12 см, а бічна сторона - 10 см. Бічні грані утворюють з основою рівні двогранні кути, що містять по 45 °. Знайдіть висоту піраміди.

Рішення:

Проведемо перпендикуляр SOдо площини основи та перпендикуляри SK, SMі SNдо сторін ΔABС.Тоді за теоремою про три перпендикуляри OK BC, ОМ АС та ON AB.

Тоді, SKO = SMO = SNO = 45 ° -як лінійні кути даних двогранних кутів. Отже, прямокутні трикутники SKO, SMOіSNO рівні по катету та гострому куту . Так що OK = OM = ON,тобто точка Проє центром кола, вписаного в ΔАВС.

Виразимо площу прямокутника АВС:

З іншого боку , . Так що ; ОК = r = 3 див.Так як у прямокутному трикутнику SOKгострий кут дорівнює45° , то ΔSOKє рівностегновим і SO=OK= 3(см) .

Завдання 2 (№ 43 з пункту "Обсяги багатогранників").

Знайдіть об'єм піраміди, що має основою трикутник, два кути якого a та β; радіус описаного кола R.Бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом γ.

Рішення.

Оскільки всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під тим самим кутом, то висота піраміди O 1 Oпроходить через центр описаного біля основи кола. Так що

У ΔАВС.Тоді згідно з теоремою синусів

Так що , , =

=.

Площа трикутника :

Тоді .

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 10-11 класів Александрова А.Д.

Розглянемо навчальний посібник Олександрова А.Д. та ін. «Геометрія: підручник для учнів 11 кл. із поглибленим вивченням математики». Окремих параграфів, присвячених тетраедру в цьому підручнику немає, проте тема є у вигляді фрагментів інших параграфів.

Вперше тетраедр згадується у §21.3. У матеріалі параграфа розглядається теорема про тріангуляцію багатогранника, як приклад виконують тріангуляцію опуклої піраміди. Саме поняття «багатогранник» у підручнику трактується двома способами, друге визначення поняття безпосередньо з тетраедром: «Многогранник – це постать, є об'єднанням кінцевого числа тетраедрів…». Пізнання, що стосуються правильної піраміди та деяких аспектів симетрії тетраедра можна знайти у §23.

У §26.2 описано застосування теореми Ейлера («про правильні мережі») для правильних багатогранників (в т.ч. для тетраедра), а §26.4 розглядаються види симетрій, характерні для цих фігур.

Також, у підручнику можна знайти інформацію про середню лінію тетраедру, центр мас (§35.5) та клас рівногранних тетраедрів. Рухи I та II роду демонструються в ході вирішення задач про тетраедр.

Відмінна риса підручника - висока науковість, яку авторам вдалося поєднати з доступною мовою та чіткою структурою викладу. Наведемо приклади розв'язання деяких завдань.

Вирішення задач.

Завдання 1.

У цю правильну трикутну усічену піраміду з боковим рубом a можна помістити сферу, що стосується всіх граней, і сферу, що стосується всіх ребер. Знайдіть сторони основ піраміди.

Рішення.

Зобразимо на кресленні повну піраміду. Ця піраміда, - висота «повної» піраміди, - її частина до верхньої основи усіченої. Завдання зводиться до планиметричної, причому не треба малювати жодної з даних сфер. Т.к. в усічену піраміду можна вписати сферу, що стосується всіх ребер, то її бічну грань можна вписати коло. Позначимо , (для зручності поділу навпіл) і для описаного чотирикутника отримаємо, що , звідки

З існування вписаної кулі випливає, що існує півкола, розташована в трапеції (- апофема «повної» піраміди) так, що її центр лежить в середині, а сама вона стосується решти трьох сторін трапеції.

Центр кулі, та - точки торкання. Тоді . Виразимо ці величину через і . З: . З: . З трапеції: . Отримуємо рівняння:

.(2)

Розв'язавши систему рівнянь (1) і (2), отримаємо, що сторони підстав рівні .

Завдання 2 .

Всередині правильного тетраедра з ребром aрозташовані чотири рівні сфери так, що кожна сфера стосується трьох інших сфер і трьох граней тетраедра. Знайти радіус цих галузей.

Рішення .

Цей тетраедр, - його висота, - центри сфер, - точка перетину прямої з площиною. Зауважимо, що центри рівних сфер, що стосуються площини, віддалені від неї на рівні відстані, кожна з яких дорівнює радіусу кулі (позначенням його як x). Значить площини паралельні, тому .

Але як висота правильного тетраедра з ребром; як висота правильного тетраедра з ребром 2 x ; .

Залишилося висловити. Зауважимо, що точка знаходиться всередині тригранного кута і віддалена від його граней на відстань, а плоскі кути тригранного кута дорівнюють. Не важко отримати те, що . Приходимо до рівняння:

звідки після спрощень отримуємо.

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 10-11 класів Смирнової І.М.

Викладення теми «Тетраедр» у підручнику для 10-11 класів гуманітарного профілю Смирнової І.М. присвячені такі заняття: 18, 19, 21, 22, 28-30, 35.

Після вивчення теореми про те, що «Кожен опуклий багатогранник може бути складений з пірамід із загальною вершиною, основи яких утворюють поверхню багатогранника» розглядається теорема Ейлера для деяких таких багатогранників, зокрема виконання умов теореми розглянуто і для трикутної піраміди, яка, по суті і є тетраедр.

Підручник цікавий тим, що в ньому розглядається топологія та топологічно правильні багатогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб, додекаедр), чиє існування обґрунтовується за допомогою тієї ж теореми Ейлера.

Крім цього, у підручнику наведено визначення поняття «правильна піраміда»; розглядаються теореми про існування вписаної та описаної сфер тетраедра, деякі властивості симетрії, що стосуються тетраедра. На заключному занятті (35) наводиться формула знаходження обсягу трикутної піраміди.

Для цього навчального посібникахарактерний великий обсяг ілюстративного та історичного матеріалу, а також невеликий обсяг практичного матеріалу, зумовлений спрямованістю підручника. Розглянемо також підручник Смирнової І.М. та ін для 10-11 класів природничо-наукового профілю.

Виклад теми "Тетраедр" у підручнику "Геометрія" для 10-11 класів Смирнової І.М. та ін.

Від попереднього навчального посібника це відрізняється компонуванням тем і рівнем складності запропонованих до вирішення завдань. Відмінною особливістю викладу матеріалу є поділ його на «семестри», яких у підручнику чотири. Тетраедр згадується у першому параграфі («Введення в стереометрію») , поняття «піраміда» визначається §3.

Як і в попередньому підручнику практичний матеріалдоповнено завданнями з розгорненням стереометричних фігур. У матеріалі §26 можна знайти теорему про сферу, вписану в тетраедр. Решта теоретичного матеріалу, що стосується тетраедра, фактично збігається з матеріалами підручника, охарактеризованого вище.

Вирішення задач.

Завдання 1.

Знайдіть найкоротший шлях по поверхні правильного тетраедра ABCDз'єднує точки Eі Fрозташовані на висотах бічних граней в 7 см від відповідних вершин тетраедра. Ребро тетраедра дорівнює 20 см.

Рішення.

Розглянемо розгорнення трьох граней тетраедра. Найкоротшим шляхом буде відрізок, що з'єднує точки Eі F. Його довжина дорівнює20 см.

Завдання 2.

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, один з катетів якого дорівнює 3 см, а гострий кут, що прилягає до нього, дорівнює 30 градусам. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60 градусів. Знайдіть обсяг піраміди.

Рішення.

Площа трикутника ABC дорівнює. Підставою висоти служить середина. Трикутник SAC – рівносторонній. .

Звідси й, отже, обсяг піраміди дорівнює .

Висновок.

Відмінною рисою підручника Атанасяна Л.С. та ін. є те, що вивчення тетраедра починається досить рано, матеріал розкиданий по всьому курсу та представлений у різних рівнях складності. У підручнику Погорєлова О.В. матеріал розташований компактно, поняття «тетраедр», як і поняття інших просторових фігур, вводиться досить пізно (наприкінці 10 класу), практичний матеріал, представлений у підручнику, невеликого обсягу. У підручнику Смирнова І.М. та ін. теоретичний матеріал, як і практичний, має невеликий обсяг, практичний завдання низького рівняПідручник відрізняється великим обсягом матеріалу з історії математики. У підручнику Александрова А.Д. та ін. рівень складності матеріалу вищий, сам матеріал різноманітніший, безліч практичних завданьмістить деяку частину теорії, є екстремальні завдання та завдання у вигляді питань, що вигідно виділяє його на тлі інших.

§2. Тестування рівня розвитку просторового мислення в учнів середньої школи

Інтелект – це здатність до навчання чи розуміння, яка властива всім людям. Одні люди мають нею більшою мірою, інші - меншою, проте у кожної людини протягом життя ця здатність зберігається практично без змін. Саме завдяки інтелекту ми здатні правильно діяти та навчатися на своїх помилках.

У психології інтелект визначається, як здатність сприймати знання та використовувати їх в інших, принципово нових ситуаціях. В умовах тестування можна визначити, наскільки успішно адаптується людина до незвичайних ситуацій. Визначення рівня загального інтелектуального розвитку у вигляді тесту – досить важка і ємна за часом робота, у тексті цієї роботи використовуватиметься частина методики тестування інтелекту, відповідальна питання про рівень розвитку просторового мислення. Просторове мислення – це специфічний вид мисленнєвої діяльності, яка має місце у розв'язанні завдань, що вимагають орієнтації в практичному та теоретичному просторі (як видимому, так і уявному). У найрозвиненіших формах це мислення зразками, у яких фіксуються просторові властивості і відносини. Оперуючи вихідними образами, створеними на різній наочній основі, мислення забезпечує їх видозміну, трансформацію та створення нових образів, відмінних від вихідних.

Використовуваний тест («Міні-тест рівня розвитку просторового мислення» з «Першого тесту на коефіцієнт розвитку інтелекту» Ф. Картера, К. Рассела) універсальний всім вікових груп і займає малий обсяг часу (30 хвилин). Текст тесту та його ключі можна знайти у «Додатку №1» до диплома.

Тетраедр, або трикутна піраміда, - найпростіший із багатогранників, подібно до того як трикутник - найпростіший із багатокутників на площині. Слово «тетраедр» утворене з двох грецьких слів: tetra – «чотири» та hedra – «основа», «грань». Тетраедр задається чотирма своїми вершинами - точками, що не лежать в одній площині; грані тетраедра – чотири трикутники; ребер у тетраедра шість. На відміну від довільної -вугільної піраміди (при) як підстави тетраедра може бути обрана будь-яка його грань.

Багато властивостей тетраедрів подібні до відповідних властивостей трикутників. Зокрема, 6 площин, проведених через середини ребер тетраедра перпендикулярно до них, перетинаються в одній точці. У цій же точці перетинаються і 4 прямі, проведені через центри описаних біля граней кіл перпендикулярно до площин граней, і є центром описаної біля сфери тетраедра (рис. 1). Аналогічно 6 бісекторних напівплощин тетраедра, тобто. напівплощин, що ділять двогранні кути при ребрах тетраедра навпіл, теж перетинаються в одній точці - в центрі вписаної в тетраедр сфери - сфери, що стосується всіх чотирьох граней тетраедра. Кожен трикутник має, ще до вписаної, ще 3 вписані кола (див. трикутник), тоді як тетраедр може мати будь-яке число – від 4 до 7 - вписаних сфер, тобто. сфер, що стосуються площин всіх чотирьох граней тетраедра. Завжди існують 4 сфери, вписані в усічені трикутні кути, один з яких показаний на рис. 2, праворуч. Ще 3 сфери можуть бути вписані (не завжди!) у усічені двогранні кути при ребрах тетраедра – один із них показаний на рис. 2, ліворуч.

Для тетраедра існує ще одна можливість його взаємного розташування зі сферою – торкання з деякою сферою всіма своїми ребрами (рис. 3). Така сфера – іноді її називають «напіввписаною» – існує лише в тому випадку, коли суми довжин протилежних ребер тетраедра дорівнюють: (рис. 3).

Для будь-якого тетраедра справедливий аналог теореми про перетин медіан трикутника в одній точці. Саме 6 площин, проведених через ребра тетраедра та середини протилежних ребер, перетинаються в одній точці - в центроїді тетраедра (рис. 4). Через центроїд проходять також 3 «середні лінії» - відрізки, що з'єднують середини трьох пар протилежних ребер, причому діляться крапкою навпіл. Нарешті, через проходять і 4 "медіани" тетраедра - відрізки, що з'єднують вершини з центроїдами протилежних граней, причому вони діляться в точці 3:1, рахуючи від вершин.

Найважливіша властивість трикутника – рівність (або ) – розумного «тетраедричного» аналога не має: сума всіх 6 двогранних кутів тетраедра може набувати будь-якого значення між і . (Звичайно, сума всіх 12 плоских кутів тетраедра - по 3 при кожній вершині - не залежить від тетраедра і дорівнює.)

Трикутники прийнято класифікувати за рівнем їхньої симетричності: правильні чи рівносторонні трикутники мають три осі симетрії, рівнобедрені – одну. Класифікація тетраедрів за рівнем симетричності багатша. Найсиметричніший тетраедр - правильний, обмежений чотирма правильними трикутниками. Він має 6 площин симетрії - вони проходять через кожне ребро перпендикулярно ребра, що протилежить, - і 3 осі симетрії, що проходять через середини протилежних ребер (рис. 5). Менш симетричні правильні трикутні піраміди (3 площини симетрії, рис. 6) та рівногранні тетраедри (тобто тетраедри з рівними гранями – 3 осі симетрії, рис. 7).

Рівногранним називається тетраедр, усі грані якого рівні. Щоб уявити собі рівногранний тетраедр, візьмемо довільний трикутник з паперу, і будемо згинати його по середніх лініях. Тоді три вершини зійдуться в одну точку, а половинки сторін зімкнуться, утворюючи бічні ребра тетраедра.

(0) Грані конгруентні.

(1) Ребра, що схрещуються, попарно рівні.

(2) Тригранні кути рівні.

(3) Протилежні двогранні кути рівні.

(4) Два плоскі кути, що спираються на одне ребро, рівні.

(5) Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180°.

(6) Розгортка тетраедра – трикутник або паралелограм.

(7) Описаний паралелепіпед прямокутний.

(8) Тетраедр має три осі симетрії.

(9) Загальні перпендикуляри ребер, що схрещуються, попарно

перпендикулярні.

(10) Середні лінії попарно перпендикулярні.

(11) Периметри граней рівні.

(12) Площі граней рівні.

(13) Висоти тетраедра рівні.

(14) Відрізки, що з'єднують вершини з центрами важкості протилежних граней, рівні.

(15) Радіуси описаних біля граней кіл рівні.

(16) Центр тяжкості тетраедра збігається із центром описаної сфери.

(17) Центр тяжкості збігається із центром вписаної сфери.

(18) Центр описаної сфери збігається із центром вписаної.

(19) Вписана сфера стосується граней у центрах описаних у цих

граней кіл.

(20) Сума зовнішніх одиничних нормалей (поодиноких векторів,

перпендикулярних до граней), що дорівнює нулю.

(21) Сума всіх двогранних кутів дорівнює нулю.

Практично всі властивості рівногранного тетраедра випливають із його

визначення, тому доведемо лише деякі з них.

Доказ (16).

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (1) AB=CD. Нехай крапка Довідрізка АВ, а крапка Lсередина відрізка DC, звідси відрізок KLбімедіана тетраедра ABCD, звідки за властивостями медіан тетраедра випливає, що точка Про- середина відрізка KL, є центром тяжкості тетраедра ABCD.

До того ж медіани тетраедра перетинаються в центрі тяжкості, точці Про, і діляться цією точкою щодо 3:1, рахуючи від вершини. Далі, враховуючи вищесказане та властивість (14) рівногранного тетраедра, отримуємо наступну рівність відрізків АТ = ВО = СО = DО, З якого і випливає, що точка Проє центром описаної сфери (за визначенням описаної у багатогранника сфери).

Назад. Нехай Доі L- середини ребер АВі СDвідповідно, точка Про- Центр описаної сфери тетраедра, тобто. середина відрізка KL. Т.к. Про- центр описаної сфери тетраедра, то трикутники AOBі COD- рівнобедрені з рівними бічними сторонами та рівними медіанами OKі OL. Тому ДAOB=ДCOD. А значить AB=CD. Аналогічно доводиться рівність інших пар протилежних ребер, з чого за якістю (1) рівногранного тетраедра і слідуватиме шукане.

Доказ (17).

Розглянемо бісектор двогранного кута при ребрі AB, він розділить відрізок DC щодо площ граней ABDі ABC.

Т.к. тетраедр ABCDрівногранний, то за якістю (12) S ДABD =S ДABD =>DL=LСзвідки випливає, що біссектор ABLмістить бімедіану KL. Застосовуючи аналогічні міркування інших двогранних кутів, і беручи до уваги те що, що біссектори тетраедра перетинаються лише у точці, що є центром вписаної сфери, отримуємо, що ця точка неминуче буде центром тяжкості даного рівногранного тетраедра.

Назад. З того, що центр тяжкості та центр вписаної сфери збігаються маємо таке: DL=LC=>SABD=SADC. Доводячи подібним чином рівновеликість всіх граней і, застосовуючи властивість (12) рівногранного тетраедра, отримуємо шукане.

Тепер доведемо властивість (20). Для цього спочатку потрібно довести одну з властивостей довільного тетраедра.

тетраедр теорема шкільний підручник

Якщо довжини векторів перпендикулярних до граней тетраедра чисельно дорівнюють площам відповідних граней, то сума цих векторів дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай Х- точка всередину та багатогранника, h i (i=1,2,3,4)- відстань від неї до площини i-ой грані.

Розріжемо багатогранник на піраміди з вершиною Х, підставами яких є його грані. Об'єм тетраедра Vдорівнює сумі обсягів цих пірамід, тобто. 3 V=?h i S i, де S iплоща i-ой грані. Нехай далі, n i- одиничний вектор зовнішньої нормалі до i-ої грані, Mi - довільна точка цієї грані. Тоді h i =(ХM i , S i n i ) тому 3V=?h i S i =? (ХM i , S i n i )=(ХО, S i n i )+(ОМ i , S i n i )=(ХО, ?S i n i )+3V, де Про- деяка фіксована точка тетраедра, отже, ?S i n i =0 .

Далі очевидно, що властивість (20) рівногранного тетраедра є окремим випадком вищезазначеної леми, де S 1 = S 2 = S 3 = S 4 =>n 1 =n 2 =n 3 =n 4 , і так як площі граней не дорівнюють нулю, отримуємо правильну рівність n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =0 .

На закінчення розповіді про рівногранному тетраедрі наведемо кілька завдань на цю тему.

Пряма, що проходить через центр мас тетраедра та центр описаної біля нього сфери, перетинає ребра ABі CD. Доведіть, що AC=BDі AD=BC.

Центр мас тетраедра лежить на прямій, що з'єднує середини ребер АВі СD.

Отже, на цій прямій лежить центр описаної сфери тетраедра, а значить, вказана пряма перпендикулярна ребрам АВі СD. Нехай З`і D`- Проекції точок Cі Dна площину, що проходить через пряму АВпаралельно СD. Т.к. AC`BD`- паралелограм (за побудовою), то АС = ВDі АD = НД.

Нехай h- Висота рівногранного тетраедра, h 1 і h 2 - відрізки, куди одна з висот грані ділиться точкою перетину висот цієї грані. Довести, що h 2 =4h 1 h 2 ; довести також, що основа висоти тетраедра та точка перетину висот грані, на яку ця висота опущена, симетричні щодо центру кола, описаного біля цієї грані.

Доведення.

Нехай АВСD- даний тетраедр, DH- Його висота, DA 1 , DВ 1 , DС 1 - Висоти граней, опущені з вершини Dна сторони ВС, СА та АВ.

Розріжемо поверхню тетраедра вздовж ребер DA, DB, DC, і зробимо розгортку. Очевидно, що Нє точка перетину висот трикутника D 1 D 2 D 3 . Нехай F- точка перетину висот трикутника ABC, АК- Висота цього трикутника, АF=h 1 , FК = h 2 . Тоді D 1 Н=2h 1 , D 1 A 1 =h 1 -h 2 .

Отже, оскільки h- Висота нашого тетраедра, h 2 =DН 2 =DA 2 - НA 1 2 = (h 1+ h 2 ) 2 - (h 1 - h 2 ) 2 =4h 1 h 2. Нехай тепер М- центр тяжкості трикутника ABC(він же центр тяжкості трикутника D 1 D 2 D 3 ), Про- Центр описаної біля нього кола. Відомо що F, Мі Пролежать на одній прямій (пряма Ейлера), причому М- між Fі Про, FM=2МО, з іншого боку, трикутник D 1 D 2 D 3 гомотетичний трикутнику АВСз центром у Мта коефіцієнтом (-2), значить МН = 2FM. З цього виходить що ВІН = FO.

Довести, що в рівногранному тетраедрі основи висот, середини висот та точки перетину висот граней лежать на поверхні однієї сфери (сфери 12 точок).

Доведення.

Вирішуючи задачу 2, ми довели, що центр описаної біля тетраедра сфери проектується на кожну грань у середину відрізка, кінцями якого є основа висоти, опущеної на цю грань, і точка перетину висот цієї грані. А оскільки відстань від центру описаної біля тетраедра сфери до грані дорівнює, де h- висота тетраедра, центр описаної сфери віддалений від даних точок на відстань, де а- відстань між точкою перетину висот і центром описаного біля грані кола.

Розглянемо довільний трикутник ABC і точку D, що не лежить у площині цього трикутника. З'єднаємо відрізками цю точку з вершинами трикутника ABC. В результаті отримаємо трикутники ADC, CDB, ABD. Поверхня обмежена чотирма трикутниками ABC, ADC, CDB та ABD називається тетраедром і позначається DABC.
Трикутники, у тому числі складається тетраедр, називаються його гранями.
Сторони цих трикутників називають ребрами тетраедра. А їхні вершини – вершинами тетраедра

Тетраедр має 4 грані, 6 ребері 4 вершини.
Два ребра, які мають загальної вершини, називаються протилежними.
Найчастіше для зручності одну з граней тетраедра називають основою, а три грані, що залишилися, бічними гранями.

Таким чином, тетраедр – це найпростіший багатогранник, гранями якого є чотири трикутники.

Але також вірно і твердження, що будь-яка довільна трикутна піраміда є тетраедром. Тоді також вірно, що тетраедром називають піраміду, в основі якої лежить трикутник.

Висотою тетраедраназивається відрізок, який з'єднує вершину з точкою, розташованою на протилежній грані та перпендикулярний до неї.
Медіаною тетраедраназивається відрізок, який з'єднує вершину з точкою перетину медіан протилежної грані.
Бімедіаною тетраедраназивається відрізок, який з'єднує середини ребер тетраедра, що схрещуються.

Так як тетраедр - це піраміда з трикутною основою, то об'єм будь-якого тетраедра можна розрахувати за формулою

• S- Площа будь-якої грані,
• H- Висота, опущена на цю грань

Правильний тетраедр – приватний вид тетраедра

Тетраедр, у якого всі грані рівносторонні трикутник називається правильним.
Властивості правильного тетраедра:

• Усі грані рівні.
• Усі плоскі кути правильного тетраедра дорівнюють 60°
• Так як кожна вершина є вершиною трьох правильних трикутників, то сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 °
• Будь-яка вершина правильного тетраедра проектується до ортоцентру протилежної грані (у точку перетину висот трикутника).

Нехай нам дано правильний тетраедр ABCD з рівними ребрами a . DH – його висота.
Зробимо додаткові побудови BM – висоту трикутника ABC та DM – висоту трикутника ACD.
Висота BM дорівнює BM і дорівнює
Розглянемо трикутник BDM де DH , що є висотою тетраедра також і висота даного трикутника.
Висоту трикутника, опущену на бік MB, можна знайти, скориставшись формулою

, де
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Підставимо ці значення у формулу висоти. Отримаємо


Винесемо 1/2a. Отримаємо

Застосуємо формулу різниця квадратів

Після невеликих перетворень отримаємо


Обсяг будь-якого тетраедра можна розрахувати за формулою
,
де ,

Підставивши ці значення, отримаємо

Таким чином формула об'єму для правильного тетраедра

де a-Ребро тетраедра

Обчислення обсягу тетраедра, якщо відомі координати його вершин

Нехай нам дано координати вершин тетраедра

З вершини проведемо вектори , , .
Для знаходження координат кожного з цих векторів віднімемо з координати кінця відповідну координату початку. Отримаємо